第3讲《递推计数》（课件）小学奥数六年级上册数学通用版

递推计数 六年级上第3讲 Culture mathematics 知识树 Culture mathematics 知识树 Culture mathematics 知识树 Culture 1.知识精讲 3.极限挑战 2.例题讲解 4.巩固提升 mathematics 数学知识点 Culture mathematics 数学知识点 知识精讲 有许多计数问题很复杂，直接处理比较困难，此时硬碰硬是不行的；一个比较有效的策略退而求其次：先考虑该问题的简单情形，看看简单情形如何处理；在解决了简单情形后，再虑如何利用简单情形的结论来解决更复杂的问题…这个由简单到复杂的推导过程就叫“递推”，那如何利用“递推法”来解决计数问题呢？下面我们就来看几个例子. mathematics 例题讲解 例题1：老师给小高布置了12篇作文，规定他每天至少写1篇，如果小高每天最多能写3篇，那么共有多少种不同的完成方法?(小高每天只能写整数篇) 分析：从简单情况入手，看看能否找到合适的突破口，如果老师只布置1篇作文，小高有多少种不同的完成方法？如果老师布置2篇作文，小高有多少种不同的完成方法？如果老师布置3篇、4篇、……小高又分别有多少种不同的完成方法？篇数由少到多，完成方法数也会逐渐变多，这其中有什么规律呢？ 答案：927种 练习1：一个楼梯共有12级台阶，规定每步可以迈二级台阶或三级台阶，走完这12级台阶，共有多少种不同的走法? 答案：12种 mathematics 例题讲解 mathematics 例题讲解 例题2：用10个1×3的长方形纸片覆盖一个10×3的方格表，共有多少种覆盖方法? 分析：与例1类似，我们还是从简单情形入手找递推关系，可具体从什么样的情形入手呢? 答案：28种 练习2：用7个1×2的长方形纸片覆盖一个7x2的方格表，共有多少种覆盖方法? 答案：21种 mathematics 例题讲解 mathematics 例题讲解 例题3：在一个平面上画出100条直线，最多可以把平面分成几个部分? 分析：当直线数量不多时，画图数一数即可，但现在有100条，画图数并不现实；我们不妨在纸上将直线逐一画出，并在画的过程中仔细观察：每增加一条直线，平面被分成的部分会增加多少？这个增量有什么变化规律? 答案：5051 练习3： 如果在一个圆内画出50条直线，最多可以把圆分成多少部分? 答案：1276 mathematics 例题讲解 mathematics 例题讲解 例题4：四个人分别穿着红、黄、绿、蓝四种颜色的球衣练习传球，每人都可以把球传给另外三个人中的任意一个，先由红衣人发球，并作为第1次传球，经过8次传球后球仍然回到红衣人手中，请问：整个传球过程共有多少种不同的可能? 分析：看到这个问题，很多同学可能想通过树形图来求解，我们不妨来试一试设穿着红、黄、绿、蓝四种颜色球衣的人分别是A、B、C、D；如下图，最开始时，球在A手上，第一次传球由A传给B、C或D，也就是第一层有三个字母就够了；然后B、C、D都会继续往下传球，各有3种传法，传到第二层需要9个字母；再传到第三层，需要27个字母…每一层需要的字母增加迅猛！如果传8次球，到最后一层会用到6561个字母，这要多大的一个树形图啊！ 可见画树形图的方案不可行，但树形图对这道题就没有用了吗？并非如此，它可以帮助我们找出传球过程中所隐藏的递推关系，事实上，我们并不关心树形图长啥样，我们关心的是数量——树形图每一层分支的数量. mathematics 例题讲解 因此，只要知道每一层各字母出现的次数就可以了，我们不妨制作一个表格来统计这个次数；如下表，我们用第一列来表示层数，第一行来表示每个人，其余空格用于填写字母在该层中出现的次数，请你从上方的树形图中数一数，填出表格中的前几行；然后思考一下：这其中隐藏着什么样的递推关系? 答案：1641种 A B C D A C D A B D A B C B C DA B DA B C B C D A C DA B C B C D A C D A B D A B C D 0 1 2 3 4 5 6 7 8 练习4：三个人分别穿着红、黄、蓝三种颜色的球衣练习传球，每人都可以把球传给另外两个人中的任意一个先由红衣人发球，并作为第1次传球，经过7次传球后传到蓝衣人手中；请问：整个传球过程共有多少种不同的可能? 答案：43