5. 2 诱 导 公 式-【直击双1流】2024高考数学一轮复习讲义

5. 2　 诱 导 公 式 组序 一 二 三 四 五 六 角 2kπ + α (k ∈Z) π + α - α π - α π 2 - α π 2 + α 正弦 sin α - sin α - sin α sin α cos α cos α 余弦 cos α - cos α cos α - cos α sin α - sin α 续表 组序 一 二 三 四 五 六 正切 tan α tan α - tan α - tan α 口诀 函数名不变, 符号看象限 函数名改变, 符号看象限 记忆 规律 奇变偶不变,符号看象限 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 题型　诱导公式的应用 例 1 已知cos(α - π 3 )= - 1 2 ,则sin(π 6 +α)= (　 　 ) A. 3 2 B. - 3 2 C. 1 2 D. - 1 2 ∵ cos(α - π 3 ) =- 1 2 , ∴ cos( π 3 - α) =- 1 2 . 又 sin( π 6 + α) = cos [ π 2 - ( π 6 + α)] = cos( π 3 - α), ∴ sin( π 6 + α) =- 1 2 . D 例 2 (2023届河南月考) 已知 sin(α + π 2 ) + 2cos(α + 3π) = 2sin(α + π) - sin α,则tan α = (　 　 ) A. 1 3 B. 3 C. - 1 3 D. - 3 由 sin(α + π 2 ) + 2cos(α + 3π) = 2sin(α + π) - sin α, 得 cos α - 2cos α = - 2sin α - sin α,即 cos α = 3sin α, 所以 tan α = 1 3 . A 例 3 (2023 届湖北月考)sin( 5π 6 - α) + cos(2π 3 + α) = . sin( 5π 6 - α) + cos( 2π 3 + α) = sin [π - ( π 6 + α)] + cos [ π 2 + ( π 6 + α)] = 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 06　　　直击双 1流　高考数学 sin( π 6 + α) - sin( π 6 + α) = 0. 0 例 4 化简: sin 3π 2 - α( ) cos π2 - α( ) tan( - α + π) sin π 2 + α( ) tan(2π - α) = . 原式 = ( - cos α)sin α( - tan α) cos α( - tan α) = - sin α. - sin α 例 5 已知 α 是第三象限角, 且 cos(α - 3π 2 ) = 3 5 , 则 tan α = ; sin(π - α)cos(π + α) cos(α + π 2 ) = . 由 cos(α - 3π 2 ) = 3 5 得 - sin α = 3 5 , 所以 sin α =- 3 5 . 又 α 是第三象限角, 所以 cos α =- 1 - sin2α =- 4 5 , 所以 tan α = sin α cos α = 3 4 . sin(π - α)cos(π + α) cos(α + π 2 ) = - sin αcos α - sin α = cos α =- 4 5 . 3 4 　 - 4 5 例 6 (2023 届山东青岛中学阶段考) 求值: (1)sin( - 1 200°)cos 1 290° +cos( -1 020°) × sin( - 1 050°); (2) 设 f(α) = 2sin(π + α)cos(3π - α) + cos(4π - α) 1 + sin2α + cos(3π 2 + α) - sin2( π 2 + α) , 且 1 + 2sin α ≠ 0,求 f( - 23π 6 ) . (1) 原式 =- sin 1 200°cos 1 290° - cos 1 020°sin 1 050° = - sin(3 × 360° + 1