2. 1 等式性质与不等式性质-【直击双1流】2024高考数学一轮复习讲义

第二章 　 一元二次函数、方程和不等式 2. 1　 等式性质与不等式性质 考点一　比较两个实数的大小 1. 基本事实 a > b⇔a - b > 0; a = b⇔a - b = 0; a < b⇔a - b < 0. 2. 比较两个实数的大小 比较两个实数的大小,可以转化为比较它们 的差与 0 的大小. 考点二　等式的性质 性质 1　 如果 a = b,那么 b = a; 性质 2　 如果 a = b,b = c,那么 a = c; 性质 3　 如果 a = b,那么 a ± c = b ± c; 性质 4　 如果 a = b,那么 ac = bc; 性质 5　 如果 a = b,c ≠ 0,那么 a c = b c . 考点三　不等式的性质 性质 1　 如果 a > b,那么 b < a;如果 b < a, 那么 a > b. 即 a > b⇔b < a. 性质 2　 如果 a > b,b > c,那么 a > c. 即 a > b,b > c⇒a > c. 性质 3　 如果 a > b,那么 a + c > b + c. 性质 4　 如果 a > b,c > 0,那么 ac > bc;如 果 a > b,c < 0,那么 ac < bc. 性质 5　 如果 a > b,c > d,那么 a + c > b + d. 性质 6　 如果 a > b > 0,c > d > 0,那么 ac > bd. 性质 7　 如果 a > b > 0,那么 an > bn(n ∈ N,n ≥ 2) . 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 题型一　比较两个实数的大小 例 1 (2023届上海浦东阶段练) 若 a = 2 5 , b = 5 2 ,则 a,b 的大小关系是 (　 　 ) A. a > b B. a < b C. a = b D. 无法判断 ∵ (2 5 ) 2 = 20, (5 2 ) 2 = 50, 且 20 < 50, ∴ 2 5 < 5 2 , ∴ a < b. B 　 　 如果 a > b > 0,那么 a > b . 　 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 例 2 (改编)(1) 若 a > b,证明 a3 > b3; (2) 证明 x2 - x + 1 > 0. (1) 易知 a3 - b3 = (a - b)(a2 + b2 + ab) . ∵ a > b, ∴ a - b > 0. 又 a2 + b2 + ab = (a + 1 2 b) 2 + 3 4 b2 > 0, ∴ (a - b)(a2 + b2 + ab) > 0,即 a3 - b3 > 0, ∴ a3 > b3 . (2)∵ x2 - x + 1 = (x - 1 2 ) 2 + 3 4 ≥ 3 4 > 0, ∴ x2 - x + 1 > 0. 　 　 立方和公式:a3 + b3 = (a + b)(a2 + b2 - ab); 立方差公式:a3 - b3 = (a - b)(a2 + b2 + ab); 完全平方公式:(a ± b) 2 = a2 ± 2ab + b2; 平方差公式:a2 - b2 = (a + b)(a - b) . 　 题型二　不等式性质的应用 例 3 (2022 届 许 昌 月 考 ) 已 知 a,b,c, d ∈ R,则下列命题正确的是 (　 　 ) A. 若 a < b < 0,则 a2 < ab < b2 B. 若 a > b,则 ac2 > bc2 C. 不等式 ea + e -a ≥ 2 恒成立 D. 若 a > b,且 c > d,则 ln(ac) > ln(bd) 令 a =- 2,b =- 1,则 a < b < 0,但 a2 =( - 2) 2 > ( - 1) 2 = b2,故 A 错误; 令 c2 = 0,则当 a > b时,ac2 = bc2,故 B 错误; 因为 ea + e -a ≥2 ea·e -a = 2,当且仅当 ea = e -a,即 a = 0 时等号成立, 所以 ea + e -a ≥ 2 恒成立,故 C 正确; 令 a =- 1,b =- 2,c = - 3,d =- 4,则 a > b, c > d,且 ac = 3,bd = 8, 所以由 y = ln x在(0, + ∞ ) 上单调递增可知 ln(ac) < ln(bd),故 D 错误. C 例 4 (改编 ) 下 列 命 题 为 真 命 题 的 是 . (填序号) ① 若 ax