第十三章 坐标系与参数方程-【直击双1流】2024高考数学一轮复习讲义

第十三章 　 坐标系与参数方程 考点一　坐标系与极坐标方程 1. 平面直角坐标系中的坐标伸缩变换 设点 P(x,y) 是平面直角坐标系中的任意一 点,在变换 φ: x′ = λ·x(λ > 0), y′ = μ·y(μ > 0){ 的作用下,点 P(x,y) 对应到点 P′(x′,y′),称 φ 为平面直角坐 标系中的坐标伸缩变换,简称伸缩变换. 2. 极坐标系的概念 (1) 极坐标系 如图所示,在平面内取一个定点 O,叫做极 点;自极点O引一条射线Ox,叫做极轴;再选定一 个长度单位、一个角度单位(通常取弧度) 及其 正方向(通常取逆时针方向),这样就建立了一个 极坐标系. (2) 极坐标 ① 极径:设 M 是平面内一点,极点 O 与点 M 的距离 | OM | 叫做点 M 的极径,记为 ρ. ② 极角:以极轴 Ox 为始边,射线 OM 为终边 的角(即 ∠xOM) 叫做点 M 的极角,记为 θ. ③ 极坐标:有序数对(ρ,θ) 叫做点 M 的极坐 标,记作M(ρ,θ). 3. 极坐标与直角坐标的互化 设 M 是平面内任意一点,它的直角坐标是 (x,y),极坐标是(ρ,θ),则它们之间的关系为 x = ρcos θ, y = ρsin θ,{ 可得 ρ2 = x2 + y2, tan θ = y x (x ≠ 0) . ì î í ï ï ïï 4. 常见曲线的极坐标方程 (1) 圆心在极点,半径为 r 的圆的极坐标方 程为 ρ = r. (2) 圆心为( r,0)( r > 0),半径为 r 的圆的 极坐标方程为 ρ = 2rcos θ. (3) 圆心为 r,π 2( ) ( r > 0),半径为 r 的圆的 极坐标方程为 ρ = 2rsin θ. (4) 过极点,倾斜角为 α 的直线的极坐标方 程为 θ = α(ρ ∈ R) 或 θ = π + α(ρ ∈ R) . (5) 过点(a,0)(a > 0),与极轴垂直的直线 的极坐标方程为 ρcos θ = a. (6) 过点 a,π 2( ) (a > 0),与极轴平行的直 线的极坐标方程为 ρsin θ = a. 考点二　参数方程 1. 参数方程的概念 一般地,在平面直角坐标系中,如果曲线 C 上任意一点的坐标 x,y 都是某个变数 t 的函数, 即 x = f( t), y = g( t),{ 并且对于 t的每一个允许值,由方程 组 x = f( t), y = g( t){ 所确定的点M(x,y) 都在曲线 C上, 那么方程组 x = f( t), y = g( t){ 叫做这条曲线的参数方 程,联系变数 x,y 的变数 t 叫做参变数,简称参 数. 相对于参数方程而言,直接给出点的坐标间 关系的方程叫做普通方程. 2. 直线、圆、椭圆的参数方程 (1) 过点 M(x0,y0),倾斜角为 α 的直线 l 的 参数方程为 x = x0 + tcos α, y = y0 + tsin α{ ( t 为参数) . 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 (2) 圆心为原点,半径为 r 的圆的参数方程 为 x = rcos θ, y = rsin θ{ (θ 为参数) . (3) 圆心为点M0(x0,y0),半径为 r的圆的参 数方程为 x = x0 + rcos θ, y = y0 + rsin θ{ (θ 为参数) . (4) 椭圆x 2 a2 + y 2 b2 = 1(a > b > 0) 的参数方程 为 x = acos φ, y = bsin φ{ (φ 为参数) . 　 　 直线与圆锥曲线交于点M1,M2,M1,M2 对应的参数分别为 t1,t2,根据直线参数方程的标准形式中 t 的几何意义,得到如下 常用结论: (1) 弦长 l = | t1 - t2 | ; (2) 定点 M0 是弦 M1M2 的中点 ⇒t1 + t2 = 0; (3) 设弦 M1M2 的中点为 M,则点 M 对应的参数值 tM = t1 + t2 2 . 　 　 1. 在参数方程与普通方程的互化中,必须使 x,y 的取值范 围保持一致,否则不等价. 2. 直线的参数方程中,参数 t的系数的平方和为1时,t才有 几何意义,且其几何意义为: | t |