8. 2 简单几何体的表面积与体积-【直击双1流】2024高考数学一轮复习讲义

8. 2　 简单几何体的表面积与体积 1. 多面体的表面积 多面体的各个面都是平面图形,表面积是各 个面的面积之和. 2. 旋转体的侧面展开图及侧面积公式 旋转体 侧面展开图 侧面积公式 圆柱 S圆柱侧 = cl = 2πrl ( r 为底面半径; l 为圆柱母线长; c 为底面圆周长) 圆锥 S圆锥侧 = 1 2 cl = πrl ( r 为底面半径; l 为圆锥母线长; c 为底面圆周长) 圆台 S圆台侧 = 1 2 (c1 + c2 ) l 　 　 = π( r1 + r2 ) l ( r1 ,r2 为上、下底面半径; c1,c2 为上、下底面圆周长; l 为圆台母线长) 3. 柱体、锥体、台体、球的表面积和体积 几何体 表面积公式 体积公式 柱体 (棱柱和圆柱) S表面积 = S侧 + 2S底 V = S底 h 锥体 (棱锥和圆锥) S表面积 = S侧 + S底 V = 1 3 S底 h 台体 (棱台和圆台) S表面积 = S侧 + S上底 + S下底 V = 1 3 (S上 + S下 + S上 S下 )h 球 S = 4πR2 V = 4 3 πR3 　 　 1. 与体积有关的几个结论 (1) 组合体的体积可以利用简单几何体的体积来计算. (2) 底面面积及高都相等的两个同类几何体的体积相同. 2. 几个与球切、接有关的常用结论 (1) 正方体的棱长为 a,球的半径为 R. ① 若球为正方体的外接球,则 2R = 3a; ② 若球为正方体的内切球,则 2R = a; ③ 若球与正方体的各棱相切,则 2R = 2a. (2) 若长方体的同一顶点的三条棱长分别为 a,b,c,外接 球的半径为 R,则 2R = a2 + b2 + c2 . (3) 正四面体的外接球与内切球的半径之比为 3 ∶ 1. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 题型一　几何体的表面积和体积 例 1 (2023届丹江一模) 若圆形纸片的四分 之一部分是圆锥 A 的侧面展开图,剩余部分是圆 锥 B 的侧面展开图,则圆锥 A 与圆锥 B 表面积的 比值为 (　 　 ) A. 9 25 B. 5 21 C. 1 3 D. 9 16 设圆形纸片的半径为 r,圆锥 A 与圆 锥 B 的底面圆半径分别为 r1,r2 . 由题意知 2πr1 = π 2 r, 2πr2 = 3π 2 r, ì î í ï ïï ï ïï 解得 r1 = 1 4 r, r2 = 3 4 r, ì î í ï ïï ï ïï 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 701第八章　立 体 几 何 　　　 所以圆锥 A 的表面积 S圆锥A = πr21 + 1 4 πr2 = 5 16 πr2, 圆 锥 B 的 表 面 积 S圆锥B = πr22 + 3 4 πr2 = 21 16 πr2, 所以 S圆锥A S圆锥B = 5 21 . B 例 2 (2022 届天津和平区期 中)如图,长方体ABCD - A1B1C1D1 中, AB = BC = 1,AA1 = 3,E 是侧棱 BB1 上靠近点 B1 的三等分点,则三 棱锥A - C1D1E 的体积为 (　 　 ) A. 1 6 B. 1 3 C. 1 2 D. 1 连接 BC1,过 E 作 EF ⊥ BC1,垂足为 F, 如图. 易得 AB ⊥ 平面 BB1C1C, AB ⊂ 平面 AD1C1B, ∴ 平 面 AD1C1B ⊥ 平 面 BB1C1C. 又 平 面 AD1C1B ∩ 平 面 BB1C1C = BC1,EF ⊂ 平面 BB1C1C, ∴ EF ⊥ 平面 AD1C1B, ∴ 点 E 到平面 AD1C1B 的距离为 EF. ∵ E 是侧棱 BB1 上靠近点 B1 的三等分点, ∴ E 到平面 AD1C1B 的距离等于 B1 到平面 AD1C1B 距离的 2 3 . 设 B1 到平面 AD1C1B 的距离为 h. 在 △BB1C1 中,BC1 = BB21 + B1C21 = 10 , 由等面积法可得 1 2 B1B·B1C1 = 1 2 BC1·h,即 1 2 × 3 × 1 = 1 2 × 10 × h,解得 h = 3 10 10 , ∴ EF = 2 3 × 3 10 10 = 10 5 . 又 S△AD1C1 = 1 2 × 1 × 10 = 10 2 , ∴ V三棱锥A-C1D1