3.3 垂径定理复习课 案例 2022--2023学年浙教版九年级数学上册

垂径定理复习课案例 【教学目标】 1． 进一步熟悉垂径定理及其推论的应用。 2． 通过教学，提高学生分析基本图形、添加辅助线探索解题思路的能力；通 过把实际问题转化成一个数学问题，树立数学建模的思想，培养学生分析问题、 解决问题的能力。 3． 通过练习，总结常用解题方法，渗透分类、方程、构造直角三角形等数学思想。 4． 学会与同学交流合作，培养团队精神，体验学习过程中成功的快乐，增强学习数学的信心与热情。 【教学重难点】 重点:垂径定理及其推论的灵活应用。 难点:把实际问题转化成数学问题,并用定理及其推论解决。 【教学准备】 多媒体课件、三角板、圆规、学案练习等 【学情分析】 1.学生心理特征：进入九年级，学生思维活跃，求知欲强，对探索问题充满好奇，在课堂上有互相竞争的渴望，相比以前他们有一定的知识储备。 2.学生认知基础：学生已经学习了圆的基本概念，探索了垂径定理及其逆定理，会运用垂径定理及其逆定理进行几何证明和解决简单的实际问题。 3.学生活动经验基础：学生在之前的学习中，已明确了复习课的学习程序，并能利用学案，展示成果，变式训练，归纳方法，灵活运用，具备了学习活动的经验基础。 【教学过程】 1.课堂引入 探索发现： 问题1 一条排水管的截面如图所示，已知排水管的半径OB=10， 水面宽AB=16，求截面圆心O到水面的距离. 变式生长：一条排水管的截面如图所示，已知排水管中水面宽 AB=8，水深CD=2，求排水管的半径长. 思考1：变式生长与问题1的区别在哪里？ 思考2：存在与问题1中类似的直角三角形吗？ 生：学案练习，黑板板演。 师：梳理小结：以思维导图形式总结提炼双半Rt三角形图形的基本特征，基本结论，解决求线段长度问题的基本原理和方法。 设计意图：将课本习题适当改变背景，安排变式生长，通过两个问题设计，意在启发学生通过类比感受，培养建模思想。 2.应用体验 练习1.如图，⊙O的直径CD垂直弦AB于点E,且CE=2,DE=8, 则AB= ． 练习2.如图，AB是⊙O的直径，AB=8,点M是OA的中点，过点M的直线与⊙O交于C，D两点，若∠CMA=45°，则弦长CD= ． 练习3.已知⊙O的半径为10cm，AB，CD是⊙O的两条弦，AB∥CD，AB=16cm，CD=12cm，则弦AB和CD之间的距离是 cm． 生：学案练习，讲解方法 师：投影学生解答，强化模型，总结归纳方法 设计意图：安排三个习题 ，由浅入深，由易到难，通过练习巩固，强化双半Rt三角形基本模型。学生能够深刻领悟到圆中求弦心距，求半径，求弦长问题的解题策略和建模思想。 3.拓展生长 问题2 如图，CD是⊙O的直径，弦AB⊥CD,垂足为E， , CE=1,AB=6,则弦AF的长度为 ． 师引导启发，铺设问题，鼓励学生合作交流 问题一： 由 想到什么？ 生1：垂径定理的逆定理 生2：连结OB 问题二：求弦长AF你又会想到什么？ 生：构造双半Rt三角形 师：半径未知，怎么求？ 生：连结OA，在Rt△OAE中，已知CE和AB，利用垂径定理和勾股 定理先可以求出半径OA。 师：非常棒，掌声鼓励N 问题三：要得AN的长还需要求哪些？ 生：先需要求出ON 师：ON也未知，怎么办？请同学们小组合作讨论。 生：合作交流，得出方法 问题四：求AN还有其它方法吗？ 师总结方法： 1. 遇共边Rt三角形,利用设元，借助共边，勾股定理，方程思想解决求线段 长问题 2.遇垂直想面积，利用等积法求线段长问题 3. 由一个双半Rt三角形到两个双半Rt三角形 问题3 已知△ABC内接于⊙O，三条高线相交于点H， AD的延长线交⊙O于点G, ∠ACB=60°，求证：CH=CO. 教师层层递进设计问题串，突破重点，分散难点。 思考一：三条高有什么用？ 思考二：看到60°你会想到什么？ 思考三：由 BC你又想到什么？ 思考四：证明CH=CO，你会想到什么方法？ 思考五：证明两条线段相等还有其它的方法吗？ M 方法1双半Rt三角形 方法2直径Rt三角形 方法3等量代换 方法总结：1.求证线段相等的方法有：构造全等三角形，等腰三角形三线合一，等边对等角，等量代换…… 2.应用模型，但不局限于模型 设计意图：在此环节笔者设计了一组问题串，利用学生已有知识的储备和方法经验，有层次、有梯度地引导学生探索新知。 课后反思： 本节课从课本例题出发，不断变式生长，拓展生长，通过一“线”串珠的问题设计，层层递进的形式为学生搭建合适的梯子，让学生“够得着”，从而突破重点，分解难点。教学过程中时时归纳梳理，通过构建双半Rt三角形基本图形，运用数学原理垂径定理，利用数学方法勾股定理和