第五章　特殊的平行四边形——矩形、菱形与正方形　讲义　2022—2023学年浙教版数学八年级下册

5. ５矩形、菱形与正方形 [中考目标] 1． 掌握矩形、菱形与正方形的概念； 2． 了解平行四边形、矩形、菱形、正方形、梯形之间的关系； 3． 探索并掌握矩形、菱形、正方形的有关性质； 4． 探索并掌握四边形是矩形、菱形、正方形的条件. [考点梳理] 1． 矩形 定义：有一个角是直角的平行四边形叫矩形． 性质：具有平行四边形的所有性质，并且四个角都是直角，对角线相等． 判定：①有一个角是直角的平行四边形是矩形； ②有三个角是直角的四边形是矩形； ③对角线相等的平行四边形是矩形； 2． 菱形 定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形． 性质：具有平行四边形的所有性质，并且四条边相等，对角线互相垂直，每一条对角线平分一组对角． 判定：①一组邻边相等的平行四边形是菱形； ②四条边相等的四边形是菱形； ③对角线互相垂直的平行四边形是菱形。 3． 正方形 定义：有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形叫正方形． 性质：具有平行四边形、矩形、菱形的所有性质，四条边都相等，四个角都是直角，对角线相等且互相垂直平分，每一条对角线平分一组对角。 判定： ①有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形； ②有一组邻边相等的矩形是正方形； ③有一个角是直角的菱形是正方形； ④对角线互相垂直的矩形是正方形； ⑤对角线相等的菱形是正方形。 [范例解析] ( A B C D O E （例1 ） )例1．如图，矩形中，过对角线交点作交于则的长是（ ） (A)1.6 (B)2.5 (C)3 (D)3.4 思路分析：由OA=OC，可知OE是对角线AC 的垂直平分线，所以连结CE，可得EA=EC， 在Rt△DCE中,由勾股定理可迅速求解. 解：D 方法回顾：本题综合运用了矩形的性质、中垂线的性质、 勾股定理等知识，解题的关键是已知中垂线，连结ＣＥ． ( (例2) )例2．如图所示，两个全等菱形的边长为1米，一个微型 机器人由A点开始按ABCDEFCGA的顺序沿菱形的边循环运 动，行走2010米停下，则这个微型机器人停在______点。 思路分析:本题是8米一循环, ,所以 相当于从A点再行走2米,所以是C点. 解:C 方法回顾:本题考查了菱形的性质和运动的规律性质,重点是抓住几个一循环,再进行运算. 例3．如图所示，正方形的面积为12，是等边三角形，点在正方形内，在对角线上有一点，使的和最小，则这个最小值为（ ） ( A D E P B C （ 例３） )(A) (B) (C)3 (D) 思路分析:D点关于对角线AC的对称点是B点,连结BE,则BE即为 的最小值. 解: A 方法回顾:本题重点考查＂轴对称＂和＂线段最短＂等知识，技巧 将ＰＤ转化为ＰＢ，使得Ｂ，Ｄ两点在ＡＣ两侧，从而利用 ＂两点之间，线段最短＂求解． 　例4．　如图，菱形中，，为的中点，，于点，，交于点，交于点． 　　（1）求菱形的面积； 　　（2）求的度数． 　思路分析：由为的中点，，可知ＡＢ＝ＡＣ，进而可知是正三角形，利用勾股定理可求出ＡＥ或ＢＯ的长． 　解：（1）连结，相交于点， 　　∵，且平分， 　　∴和都是正三角形．∴． 　　因为是直角三角形，∴． 　　∴菱形的面积是． 　　（2）∵是正三角形，，∴． 　　又∵，，∴四边形是矩形． 　　∴．∴． 方法回顾：菱形（矩形）面积计算一般可通过底乘高求解，也可通过计算对角线求解．本题综合了菱形性质，等边三角形的判定和菱形面积、角度计算． 例5．如图，在矩形ABCD中，BC=20cm，P，Q，M，N分别从A，B，C，D出发沿AD，BC，CB，DA方向在矩形的边上同时运动，当有一个点先到达所在运动边的另一个端点时，运动即停止．已知在相同时间内，若BQ=xcm()，则AP=2xcm，CM=3xcm，DN=x2cm． （1）当x为何值时，以PQ，MN为两边,以矩形的边（AD或BC）的一部分为第三边构成一个三角形； （2）当x 为何值时，以P，Q，M，N为顶点的四边形是平行四边形； （3）以P，Q，M，N为顶点的四边形能否为等腰梯形?如果能，求x的值；如果不能，请说明理由． ( A B D C P Q M N （ 例5 ） ) 思路分析：对于（１）要想构成三角形，要么是点Ｐ与点Ｎ重合，要么是点Ｑ与点Ｍ重合，所以要分两种情况讨论；对于（２）已知ＰＮ∥ＱＭ，如果以Ｐ，Ｑ，Ｍ，Ｎ为顶点的四边形成为平行四边形，只需要ＰＮ＝ＱＭ就行了，对于（３）和（２）同理． 解：（1）当点P与点N重合或点Q与点M重合时，以PQ，MN为两边，以矩形的边（AD或BC）的一部分为第三边可能构成一个三角形． ①当点P与点N重合时， （舍去）． 因为BQ+CM=，此时点Q与点M不重合． 所以符合题意．