2.1.1椭圆及其标准方程课件-2022-2023学年高二上学期数学北师大版（2019）选择性必修第一册

北师大版（2019）选择性必修第一册 椭圆及其标准方程 生活中的椭圆 ——仙女座星系 星系中的椭圆 行星运动的轨迹 · r O A 一、合作探究，形成概念： 请同学们用事先准备好的学习用具小组内共同完成一下任务，并思考相应问题。 1.取一条定长的细绳，把它的两端都固定在图板的同一点处，套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，这时笔尖（动点）画出的轨迹是一个什么图形？笔尖（动点）满足什么几何条件？ 2.如果把细绳的两端拉开一段距离，分别固定在图板的两点处，套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，画出的又是什么图形？这一过程中，笔尖（动点）满足什么几何条件？ (1)取一条细绳（不可伸长）， (2)把它的两端固定在板上的两个定点F1、F2 (3)用铅笔尖（M）把细绳拉紧，在板上慢慢移动看看画出的图形 数学实验 1.在椭圆形成的过程中，细绳的两端的位置是固定的还是运动的？ 2.在画椭圆的过程中，绳子的长度变了没有？ 3.在画椭圆的过程中，绳子长度与两定点距离大小有怎样的关系？ 思考 （一）椭圆的定义 平面内到两个定点F1，F2的距离之和等于常数 （2a） （大于|F1F2 |）的点的轨迹叫椭圆。 定点F1、F2叫做椭圆的焦点。 两焦点之间的距离叫做焦距（2C）。 椭圆定义的文字表述： 椭圆定义的符号表述： (2a>2c) M F2 F1 2a=2c 2a<2c 思考:当点M到F1、F2的距离之和不大于|F1F2|时，点M的轨迹是什么？ 1. 改变两图钉之间的距离，使其与绳长相等，画出的图形还是椭圆吗？ 2．绳长能小于两图钉之间的距离吗？ 不存在 线段F1F2 ♦ 探讨建立平面直角坐标系的方案 O x y O x y O x y M F1 F2 方案一 F1 F2 方案二 O x y M O x y 原则：尽可能使方程的形式简单、运算简单； (一般利用对称轴或已有的互相垂直的线段所在的直线作为坐标轴.) (对称、简洁 ) 椭圆的方程的推导 建 设 现（限） 以经过椭圆焦点 F1，F2 的直线为 x 轴，线段F1F2的中垂线为y轴，建立直角坐标系xoy。 设 M（x，y）是椭圆上任一点， 设椭圆的焦距为 2c，点M与两焦点的距离之和为常数 2a。 故椭圆的两焦点坐标分别为 F1(-c,0) 和 F2(c,0) 由椭圆的定义得 （a > c） 2a 代 化 两边同时除以 ，得 移项，得 平方化简，得 再平方化简，得 则方程可化为 观察左图， 和同桌讨论你们能从中找出表示c 、 a 的线段吗？ a2-c2 有什么几何意义？ 由两点间的距离公式，可知： 设|F1F2|=2c(c＞0)，M(x，y)为椭圆上任意一点，则有F1(0,-c)，F2(0,c)， 又由椭圆 的定义可得： |MF1|+ |MF2|=2a （请大家比较一下上面两式的不同，独立思考后回答椭圆的标准方程。） 焦点在Y轴 焦点在X轴 14 14 总体印象：对称、简洁，“像”直线方程的截距式 焦点在y轴： 焦点在x轴： 椭圆的标准方程 1 o F y x 2 F M 1 2 y o F F M x 图 形 方 程 焦 点 F(±c，0) F(0，±c) a,b,c之间的关系 c2=a2-b2 MF1+MF2=2a (2a>2c>0) 定 义 1 2 y o F F M x 1 o F y x 2 F M 两类标准方程的对照表 注: 共同点：椭圆的标准方程表示的一定是焦点在坐标轴上，中心在坐标原点的椭圆；方程的左边是平方和，右边是1. 不同点：焦点在x轴的椭圆 项分母较大. 焦点在y轴的椭圆 项分母较大. 椭圆方程有特点 系数为正加相连 分母较大焦点定 右边数“1”记心间 椭圆小结 练习1：判定下列椭圆的焦点在哪个轴，并指明a2、b2，写出焦点坐标 答：在 X 轴（-3，0）和（3，0） 答：在 y 轴（0，-5）和（0，5） 答：在y 轴。（0，-1）和（0，1） 判断椭圆标准方程的焦点在哪个轴上的准则： 焦点在分母大的那个轴上。 1.口答：下列方程哪些表示椭圆？ 若是,则判定其焦点在何轴？ 并指明 ，写出焦点坐标.