精品解析：上海市青浦高级中学2022-2023学年高一下学期期中数学试题

青浦高级中学2022学年第二学期高一年级数学期中 2023.4 一、填空题 1. 若点是角终边上的一点，则______ 2. 若扇形的圆心角为，半径为4，则扇形的面积是______ 3. 已知，若与终边相同，且，则______ 4. 已知，则______ 5. 已知函数是偶函数，则的取值是______ 6. 已知向量、、满足关系式，那么可用向量、表示向量______ 7. 已知，______ 8. 已知，且有，则___________. 9. 函数定义域是_________ 10. 在中，已知，，设，以下说法正确的是______ ①若有两解，；②若有唯一解， ③若无解，；④当，外接圆半径为6 11. 若，，且，则______（提示：在上严格增函数） 12. 已知函数，，若在区间内没有零点，则的取值范围是____________________. 二、选择题 13. 下列式子中，不能化简为的是（ ） A. B. C. D. 14. 在中，若，则下列结论错误的是（ ） A. B. C. D. 15. 已知，关于该函数有下列四个说法： ①的最小正周期为； ②在上单调递增； ③当时，的取值范围为； ④的图象可由的图象向左平移个单位长度得到． 以上四个说法中，正确的个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 16. 克罗狄斯·托勒密（Ptolemy）所著的《天文集》中讲述了制作弦表的原理，其中涉及如下定理：任意凸四边形中，两条对角线的乘积小于或等于两组对边乘积之和，当且仅当对角互补时取等号，根据以上材料，完成下题：如图，半圆的直径为2，为直径延长线上的一点，，为半圆上一点，以为一边作等边三角形，则当线段的长取最大值时，（ ） A 30° B. 45° C. 60° D. 90° 三、解答题 17. 已知锐角，是钝角，，， （1）求和； （2）求的值． 18. 在△ABC中，角A，B，C所对的边为a，b，c （1）若，求∠B； （2）若，试判断△ABC的形状． 19. 已知函数． （1）求的单调递增区间； （2）若对任意都有，求实数t取值范围． 20. 落户上海的某休闲度假区预计于2022年开工建设.如图，拟在该度假园区入口处修建平面图呈直角三角形的迎宾区，，迎宾区的入口设置在点A处，出口在点B处，游客可从入口沿着观景通道A-C-B到达出口，其中米，米，也可以沿便捷通道A-P-B到达出口（P为△ABC内一点）. （1）若△PBC是以P为直角顶点的等腰直角三角形，某游客的步行速度为每分钟50米，则该游客从入口步行至出口，走便捷通道比走观景通道可以快几分钟？（结果精确到1分钟） （2）园区计划将△PBC区域修建成室外游乐场，若，该如何设计使室外游乐场的面积最大，请说明理由. 21. 对于函数，若在其定义域内存在实数，t，使得成立，称是“t跃点”函数，并称是函数的“t跃点”． （1）若函数，x∈R是“跃点”函数，求实数m的取值范围； （2）若函数，x∈R，求证：“”是“对任意t∈R，为‘t跃点’函数”的充要条件； （3）是否同时存在实数m和正整数n使得函数在上有2021个“跃点”？若存在，请求出所有符合条件的m和n的值；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 青浦高级中学2022学年第二学期高一年级数学期中 2023.4 一、填空题 1. 若点是角终边上的一点，则______ 【答案】## 【解析】 【分析】由终边上的点及三角函数的定义求余弦值即可. 【详解】由三角函数定义. 故答案为： 2. 若扇形的圆心角为，半径为4，则扇形的面积是______ 【答案】## 【解析】 【分析】利用扇形面积公式求扇形面积即可. 【详解】扇形弧长，则扇形面积为. 故答案为： 3. 已知，若与的终边相同，且，则______ 【答案】 【解析】 【分析】根据已知条件，结合终边相同的角的定义，即可求解. 【详解】因为与的终边相同， 且，即， 所以， 故答案为：或 4. 已知，则______ 【答案】 【解析】 【分析】利用诱导公式化简求值. 【详解】. 故答案为： 5. 已知函数是偶函数，则的取值是______ 【答案】 【解析】 【分析】根据余弦函数的性质求得的值. 【详解】令，则，所以的值为. 故答案为：. 6. 已知向量、、满足关系式，那么可用向量、表示向量______ 【答案】 【解析】 【分析】由等式变形可得出关于、的表达式. 【详解】因为，所以，，则. 故答案为：. 7. 已知，______ 【答案】## 【解析】 【分析】由，利用齐次运算及商数关系求值即可. 【详解】由. 故答案为： 8. 已知，且有，则___________. 【答案】 【解析】 【分析