2023年中考数学高频考点突破——圆的切线的证明

2023年中考数学高频考点突破——圆的切线的证明 1．如图，O为正方形ABCD对角线上一点，以点O为圆心，OA长为半径的⊙O与BC相切于点E． （1）求证：CD是⊙O的切线； （2）若正方形ABCD的边长为10，求⊙O的半径． 2．如图，OA，OB是⊙O的两条半径，OA⊥OB，C是半径OB上的一动点，连接AC并延长交⊙O于D，过点D作直线交OB延长线于E，且DE=CE，已知OA=8． (1)求证：ED是⊙O的切线； (2)当∠A=30°时，求CD的长． 3．如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，以AB为直径作⊙O交边BC于点D，过点D作DE⊥AC交AC于点E，延长ED交AB的延长线于点F， （1）求证：DE是⊙O的切线； （2）若AB＝8，AE＝6，求BF的长 4．已知：如图，，以为直径的交于点，过作于点． 求证：是的切线； 如果的半径为，，求的长． 5．如图所示，⊙O是△ABC的外接圆，AB为直径，∠BAC的平分线交⊙O于点D，过点D的切线分别交AB，AC的延长线于点E，F． （1）求证：AF⊥EF． （2）探究线段AF、CF、AB之间的数量关系，并证明． 6．如图所示，⊙O的半径为4，点A是⊙O上一点，直线l过点A；P是⊙O上的一个动点（不与点A重合），过点P作PB⊥l于点B，交⊙O于点E，直径PD延长线交直线l于点F，点A是的中点． （1）求证：直线l是⊙O的切线； （2）若PA=6，求PB的长． 7．如图，在△ABC中，以BC为直径的⊙O交AC于点E，过点E作AB的垂线交AB于点F，交CB的延长线于点G，且∠ABG=2∠C． （1）求证：EG是⊙O的切线； （2）若tanC=，AC=8，求⊙O的半径． 8．如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为点P，直线BF与AD的延长线交于点F，且∠AFB=∠ABC． (1)求证：直线BF是⊙O的切线． (2)若CD=2，OP=1，求线段BF的长． 9．如图，O是Rt△ABC的直角边BC上的点，以O为圆心，OC长为半径的⊙O过斜边上点D，交BC于点F，DF∥AO． （1）判断直线AD与⊙O的位置关系，并说明理由； （2）若BD=4，BC=8，求DF的长． 10．如图，在中，，是的外接圆，点P在直径BD的延长线上，且． 求证：PA是的切线； 若，求图中阴影部分的面积结果保留和根号 11．如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，AD和过C点的直线互相垂直，垂足为D，且AC平分∠DAB． （1）求证：DC为⊙O的切线； （2）若∠DAB=60°，⊙O的半径为3，求线段AC的长． 12．如图，在Rt△ABC中，点O在斜边AB上，以O为圆心，OB为半径作圆，分别与BC，AB相交于点D，E，连结AD．已知∠CAD=∠B, （1）求证：AD是⊙O的切线． （2）若BC=8，tanB=，求⊙O 的半径． 13．如图，在Rt△ACB中，∠C=90°，AC=3cm，BC=4cm，以BC为直径作⊙O交AB于点D． （1）求线段AD的长度； （2）点E是线段AC上的一点，试问：当点E在什么位置时，直线ED与⊙O相切？请说明理由． 14．如图，点D在⊙O的直径AB的延长线上，点C在⊙O上，AC＝CD，∠D＝30°， （1）请判断CD是否⊙O的切线？并说明理由； （2）若⊙O的半径为6，求弧AC的长．（结果保留π） 15．如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，O是BC边上一点，以O为圆心的半圆与AB边相切于点D，与AC、BC边分别交于点E、F、G，连接OD，已知BD=2，AE=3，tan∠BOD=． （1）求证：AE是 O的切线； （2）求图中两部分阴影面积的和． 16．如图，AB为⊙O的直径，C、D为⊙O上不同于A、B的两点，∠ABD＝2∠BAC，连接CD，过点C作CE⊥DB，垂足为E，直径AB与CE的延长线相交于F点． （1）求证：CF是⊙O的切线； （2）当BD＝，sinF＝时，求OF的长． 17．如图，O为菱形ABCD对角线上一点，以点O为圆心，OA长为半径的⊙O与BC相切于点M． （1）求证：CD与⊙O相切； （2）若菱形ABCD的边长为2，∠ABC＝60°，求⊙O的半径． 18．如图，AB是⊙O的直径，点E是上的一点，∠DBC=∠BED， （1）求证：BC是⊙O的切线； （2）已知AD=3，CD=2，求BC的长． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 1．（1）证明见解析；（2）⊙O的半径为：20﹣10． 【解析】分析：（1）首先连接OE，并过点O作OF⊥CD，由OA长为半径的⊙O与BC相切于点E，可得OE=OA，OE⊥BC，然后由AC为正方形ABCD的对角线，根据角平分线的性质，可证得OF=OE=OA，即可判定CD是⊙O