6.3.2二项式系数的性质 2022-2023学年高二数学同步课件(人教A版2019选择性必修第三册)

第六章 计数原理 6.3.2 二项式系数的性质 一 二 三 学习目标 理解二项式系数的性质 会用赋值法求展开式系数的和 会用二项式定理及其性质解决有关的简单问题 1.二项式定理 2.二项展开式的通项 3.二项式系数： 复习引入 有很多有趣的性质，而且我们可以从不同角度进行研究。 探究 用计算工具计算(a＋b)n的展开式的二项式系数，并填入下表中. n (a＋b)n的展开式的二项式系数 1 2 3 4 5 6 通过计算，填表，你发现了什么规律？ (a＋b)1 (a＋b)2 (a＋b)3 (a＋b)4 (a＋b)5 (a＋b)6 杨辉三角 新知探究 (1)每行两端的数都是1； (2)系数呈对称分布；与首末两端“等距离”的两个系数相等； (3)同一行中，系数先增后减，两端的系数小，中间的系数大. (4)在相邻的两行中,除1以外的每一个数都等于它“肩上”两个数的和,等等. 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1 新知探究 问题1 上表写成如下形式，你发现了什么规律？ 对于 展开式的二项式系数: 下面再从函数角度分析二项式系数： r f(r) O 1 2 3 5 10 15 20 4 5 6 新知探究 Cnr可看成是以r为自变量的函数 f (r),其定义域是： 对于确定的n，我们还可以画出 它的图像． 例如，当n=6 时，f (r)=Cnr (r∈ {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6})的图象是右图中的7个离散点． 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 探究 (1)观察右图，你发现了什么规律? (2)请你分别画出n=7 , 8 , 9时f(r)=Cnr 的图象，比较它们的异同，你发现了什么规律? 新知探究 n=7 n=8 n=9 与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等． 这一性质可直接由公式 得到． f (r) r n O 5 15 20 1 10 图象的对称轴： 概念生成 由此我们可得二项式系数有以下性质： 性质1：对称性 新知探究 性质2：增减性与最大值 （增减性的实质是比较 的大小） 所以 相对于 的增减情况由 决定． 可知，当 时， 由： 由对称性可知它的后半部分是逐渐减小的,且中间项取得最大值 二项式系数是逐渐增大的， 新知探究 性质2：增减性与最大值 ∴（1）当n为偶数时，正中间一项的二项式系数 最大； （2）当n为奇数时，中间两项的二项式系数 相等，且同时取得最大值. ∵二项展开式共有n+1项， f (k) k n 3 O 5 15 20 1 10 1 2 4 5 n为偶数 f (r) r n O 5 15 20 1 10 n为奇数 性质3： 各二项式系数的和 新知探究 1 4 6 4 1 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1 = = = = = + + + + + + + + + + + + + + + 2 4 8 16 32 猜想： 问题2 计算各二项式的系数之和，你能发现什么规律？ =21 =22 =23 =24 =25 + + + + + + = 26 求证:(a+b)n 的展开式中的所有二项式系数的和等于 . 证明: 令 a=1, b=1，则得 在展开式 中 性质3： 各二项式系数的和 新知探究 （赋值法） 令x =1，得 另证: 结论: 组合总数公式 一般地， 的展开式的二项式系数有如下性质： (1) (2) (3)当 时, 当 时, (4) 二项式系数性质 课堂小结 典例解析 例1 证明：在(a+b)n展开式中, 奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和. 偶数项的二项式系数的和为 中的a, b可以取任意实数, 因此我们可以通过对a , b适当赋值来得到上述两个系数和. 分析：奇数项的二项