3.4 圆周角和圆心角的关系(1)课件 2022-2023学年北师大版九年级数学下册

北师大版数学九年级(下) 第三章 圆 3.4 圆周角和圆心角的关系(1) 阜新市第一中学 徐万丽 在射门游戏中(如图)，球员射中球门的难易度与他 所处的位置B对球门AC的张角(∠ABC)有关。 新知导入 当球员在B、D、E处射门时，他所处的位置对球门 AC分别形成三个张角∠ABC、∠ADC、∠AEC，这三 个角的大小有什么关系？ Ⅰ、如图，在⊙O中，观察图形。 新知探究 (1) ∠ABC、∠ADC、∠AEC的顶点 分别在哪里？ ∠ABC、∠ADC、∠AEC的顶点 都在⊙O上 (2) ∠ABC、∠ADC、∠AEC的边分别 在哪里？ ∠ABC、∠ADC、∠AEC的两条边 与圆还有另一个交点 圆周角 新知归纳 圆周角的定义： 顶点在圆上，两边分别与圆还有另一个交点，像这样 的角，叫做圆周角。 1 2 3 4 5 ⅰ、如图，∠AOB=80°，请你画几个AB所对的圆周角。 合作交流 O A B (1) 这几个圆周角有什么关系？ C D E 这几个圆周角都相等 (2) 这几个圆周角的大小是多少？ 这几个圆周角都等于40° (3) 你有什么发现？ 这几个圆周角都等于圆心角的一半 ⅱ、如图，∠AOB=120°，请你画几个AB所对的圆周角。 合作交流 O A B (1) 这几个圆周角有什么关系？ C D E 这几个圆周角都相等 (2) 这几个圆周角的大小是多少？ 这几个圆周角都等于60° (3) 你有什么发现？ 这几个圆周角都等于圆心角的一半 新知归纳 圆周角定理： 圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半。 Ⅱ、已知：如图，∠C是AB所对的圆周角，∠AOB是AB所 对的圆心角。 求证：∠C= ∠AOB。 新知探究 O A B (1) C O A B (2) C O A B (3) C 分析： 根据圆周角和圆心角的位置关系，分三种情况讨论： (1)圆心O在∠C的一条边上； (2)圆心O在∠C的内部； (3)圆心O在∠C的外部。 1.首先考虑一种特殊情况： 当圆心(O)在圆周角(∠ACB)的一边(BC)上时,圆周角∠ACB与圆心角∠AOB的大小关系. ∵∠AOB是△ACO的外角， ∴∠AOB=∠C+∠A. ∵OA=OC， ∴∠A=∠C. ∴∠AOB=2∠C. A C B ●O Ⅲ 、已知：如图，∠C是AB所对的圆周角，∠AOB是AB所 对的圆心角。 求证：∠C= ∠AOB。 新知探究 O A B (1) C O A B (2) C O A B (3) C 你能证明(2)和(3)吗？ 2.当圆心(O)在圆周角(∠ACB)的内部时,圆周角∠ACB与圆心角∠AOB的大小关系会怎样? 老师提示:能否转化为1的情况? 过点C作直径CD.由1可得: D ●O A C B Ⅱ、已知：如图，∠C是AB所对的圆周角，∠AOB是AB所 对的圆心角。 求证：∠C= ∠AOB。 新知探究 O A B (1) C 证明： (1)圆心O在∠C的一条边上 ∵∠AOB是∠C的外角 ∴∠AOB=∠A+∠C ∵OA=OB ∴∠AOB=2∠C 即 ∠C = ∠AOB 3.当圆心(O)在圆周角(∠ACB)的外部时,圆周角∠ACB与圆心角∠AOB的大小关系会怎样? 老师提示:能否也转化为1的情况? 过点C作直径CD.由1可得: D A C B ●O 1、如图，在⊙O中，∠O=50°，求∠A的度数。 巩固练习 例1、如图的射门游戏中，当球员在B、D、E处射门时，所 形成的三个张角∠ABC、∠ADC、∠AEC的大小有什么关 系？你能利用圆周角定理证明你的结论吗？ 范例讲解 解： 找到圆心O，连接OA、OC 根据圆周角定理： O ∠B= ∠AOC ∠D= ∠AOC ∠E= ∠AOC ∴∠B=∠D=∠E 新知归纳 圆周角定理的推论： 同弧或等弧所对的圆周角相等。 2、如图，哪个角与∠BAC相等？你还能找到哪些相等的角？ 巩固练习 3、如图，OA、OB、OC都是⊙O的半径，∠AOB=2∠BOC， ∠ACB与∠BAC的大小有什么关系？为什么？ 巩固练习 4、如图，A、B、C、D是⊙O上的四点，且∠C=100°，求 ∠BOD和∠A的度数。 巩固练习 5、为什么有些电影院的座位排列(横排)呈圆弧形？说一说 这种设计的合理性。 巩固练习 6、 船在航行过程中，船长常常通过测定角度来确定是会 遇到暗礁。如图，A、B表示灯塔，暗礁分布在经过A、B两 点的一个圆形区域内，优弧AB上任意一点C都是有触礁危 险的界点，∠ACB就是“危险角”，当船P位于安全区域时， 它与两个灯塔的夹角∠α与“危险角”有怎样的大