第六章反比例函数综合复习讲义2022-2023学年浙教版八年级数学下册

主 题 反比例函数综合 教学内容 1、 理解反比例函数的定义与性质等； 2、 掌握反比例函数的处理方法； （一） 反比例函数的定义 一般地，函数y＝或y＝kx－1(k是常数，k≠0)叫做反比例函数． 1．反比例函数y＝中的是一个分式，所以自变量x≠0，函数与x轴、y轴无交点． 2．反比例函数解析式可以写成xy＝k(k≠0)，它表明在反比例函数中自变量x与其对应函数值y之积，总等于已知常数k. （二）反比例函数的图象和性质 1．反比例函数y＝(k≠0)的图象是双曲线 因为x≠0，k≠0，相应地y值也不能为0，所以反比例函数的图象无限接近x轴和y轴，但永不与x轴、y轴相交． 2．反比例函数的图象和性质 反比例函数y＝(k≠0)的图象总是关于原点对称的双曲线，它的位置和性质受k的符号的影响． (1)k＞0⇔图象的两个分支分别在一、三象限，如图①所示．图象自左向右是下降的⇔当x＜0或x＞0时，y随x的增大而减小(或y随x的减小而增大)． (2)k＜0⇔图象的两个分支分别在二、四象限，如图②所示．图象自左向右是上升的⇔当x＜0或x＞0时，y随x的增大而增大(或y随x的减小而减小)． （三）反比例函数解析式的确定 求反比例函数的解析式可用待定系数法．由于反比例函数的关系式中只有一个未知数，因此只需已知一组对应值就可以． 求反比例函数解析式的一般步骤： (1)设出含有待定系数的函数解析式； (2)把已知条件代入解析式，得到关于待定系数的方程； (3)解方程求出待定系数． （四）反比例函数图象中比例系数k的几何意义 反比例函数y＝(k≠0)中k的几何意义：双曲线y＝(k≠0)上任意一点向两坐标轴作垂线，两垂线与坐标轴围成的矩形面积为|k|. 理由：如图①和图②，过双曲线上任意一点P作x轴、y轴的垂线PA、PB所得的矩形PAOB的面积S＝PA·PB＝|y|·|x|＝|xy|；∵y＝，∴xy＝k，∴S＝|k|，即过双曲线上任意一点作x轴、y轴的垂线，所得的矩形面积均为|k|，同理可得S△AOB＝|xy|＝|k|. 温馨提示： 根据图象说出性质、根据性质大致画出图象及求解析式是一个难点，要逐步理解和掌握。 （五）反比例函数的应用 解决反比例函数的实际问题时，先确定函数解析式，再利用图象找出解决问题的方案，特别注意自变量的取值范围． 题型一：定义 例题1、已知反比例函数y＝的图象经过点（1，－2），则k的值为 A． 2 B．－ C．1 　　　　　　D．－2 【解析】反比例函数y＝的图象经过点（1，－2），表明在解析式y＝中，当x＝1时，y＝－2，所以k＝xy＝1×(－2)＝－2． 变式练习：若反比例函数的图像经过点P（-1,4），则它的函数关系是 . 【解析】本题考查了反比例函数的定义.掌握定义中K的确定方法是关键.本题考查点在函数图像上与函数解析式的关系，常规方法是直接代入计算. 题型二：关于k的问题： 例题：如图，两个反比例函数和的图象分别是和．设点P在上，PC⊥x轴，垂足为C，交于点A，PD⊥y轴，垂足为D，交于点B，则三角形PAB的面积为（ ） （A）3 （B）4 （C） （D）5 ( x y A P B D C O ) 【解析】可设P（a， ），∵P和A的纵坐标相同，又A在上，可得A点的纵坐标为，∴PA=．P点和B点的纵坐标相同，同理可得B点横坐标为-2a，即PB=3a，所以三角形PAB的面积为=．故选C． 例题：如图，若点M是x轴正半轴上的任意一点，过点M作PQ∥y轴，分别交函数（x＞0）和（x＞0）的图象于点P和Q，连接OP、OQ,则下列结论正确的是（ ） A.∠POQ不可能等于900 B. C.这两个函数的图象一定关于x轴对称 D. △POQ的面积是 【解析】当P、Q两点的横纵坐标的绝对值相等时,△POM和△QOM是等腰直角三角形,即∠POQ=900，A不正确；PM、QM是线段的长，比值是正数，K1，K2符号不同,比值为负, B不正确；只有当|K1|=|K2|时，两个公式图象关于x轴对称, C不正确；S△POQ=S△POM+S△QOM=+=，故D正确. 例题：如图，直线与反比例函数的图象分别交于B、C两点，A为y轴上的任意一点，则的面积为 A．3 B． C． D．不能确定 【解析】因为直线与反比例函数的图象分别交于B（t,）、C(t,),所以BC=，所以。 例题：如图，直线与反比例函数的图象在第一象限内交于A、B两点，交x轴的正半轴于C点，若AB:BC=(m-1):1（m>1），则△OAB的面