8.6.2直线与平面垂直的判定 课件-2022-2023学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

8.6 空间直线、平面的垂直 8.6.2 直线与平面垂直 ——第一课时 直线与平面垂直的判定 空间中直线与平面有几种位置关系？ 线 面 位置关系 垂直 斜交 a b 在平面内 平行 复习旧知 新课导入 1、生活中有哪些直线与平面垂直的实例？ 2、如何定义直线与平面垂直？ 问题1： 旗杆所在的直线AB与其影子所在直线BC有何位置关系? AB⊥BC 问题2： 随着时间变化，旗杆AB与影子BCn是否一直保持垂直？ 观察归纳： AB⊥BCn 旗杆AB所在直线与地面垂直， 即与地面上任意一条直线都垂直. 问题3： 旗杆所在的直线AB是否与地面任意直线垂直? 观察归纳： 新知讲解 记作： 如果直线 l 和平面α内的任意一条直线都垂直，则称直线 l 和平面α垂直. α P 1、直线与平面垂直的定义 l 注意：画图时，通常把直线画成与表示平面的平行四边形的一边垂直. 平面α的垂线 垂足 直线l的垂面 线面垂直 线线垂直 定义 符号表示： 问题4： 在直线与平面垂直的定义中，“任意”可以换成“无数”吗？ 在直线与平面垂直的定义中， “任意”不可以换成“无数” l α 同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知平面的直线垂直。 那么，过一点与已知平面垂直的直线有几条？ P 问题5： l α 过一点垂直于已知平面的直线有且只有一条 过一点作垂直于已知平面的直线,则该点与垂足间的线段,叫做这个点到该平面的垂线段, 垂线段的长度叫做这个点到该平面的距离. 2、点到平面的距离 P 牛刀小试 ④⑤ 实践操作： 如图,一块三角形纸片ABC,过△ABC的顶点A翻折纸片.得到折痕AD，将翻折后的纸片竖起放置在桌面上(BD、DC与桌面接触). (1)折痕AD与桌面垂直吗? (2)如何翻折才能使折痕AD与桌面垂直? (2)如何翻折才能使折痕AD与桌面垂直? 如图,一块三角形纸片ABC,过△ABC的顶点A翻折纸片.得到折痕AD，将翻折后的纸片竖起放置在桌面上(BD、DC与桌面接触). (1)折痕AD与桌面垂直吗? 实践操作： 问题6： 在翻折过程中，哪些线与线的关系是不变的？ 如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直, 那么该直线与此平面垂直. 线线垂直 　　　 线面垂直 判定定理 定义 垂直 内 相交 3、直线和平面垂直的判定定理 问题7： 观察跨栏、简易衣帽架等实物，它们垂直于地面的原因是什么？ 如图,已知 ,求证: ∵ . ∴ ∵ 是两条相交直线. ∴ 证明：在平面 内作两条相交直线m，n ∵ . ∴ 例 求证：若两条平行直线中的一条直线垂直于一个平面，那么另一条直线垂直于这个平面. 结论：如果两条平行直线中的一条直线垂直于一个平面，那么另一条直线也垂直于这个平面. (证明线面垂直的另一方法) 如图,若一条直线PA和一个平面α相交,但不垂直，那么这条直线就叫做这个平面的斜线，斜线和平面的交点A叫做斜足. P A 斜足 斜线 平面的斜线 思考： 我们知道，当直线和平面垂直时,该直线叫做平面的垂线。如果直线和平面不垂直,如何给它命名？此时又该如何刻画直线和平面的这种关系呢? 如图，过斜线上斜足以外的一点向平面引垂线PO，过垂足O和斜足A的直线AO叫做斜线在这个平面上的射影. 平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的角,叫做这条直线和这个平面所成的角，如图中∠PAO. 斜线 斜足 射影 垂足 垂线 一条直线垂直于平面,我们说它所成的角是直角； 一条直线和平面平行,或在平面内,我们说它所成的角是0°的角. 规定: 直线与平面所成的角θ的取值范围是什么? 4、直线和平面所成角 求线面角，一般先找出或作出线面角，再解直角三角形即得。关键在于考察线面垂直条件 18 19 20 课堂练习 21 22 23 24 3、如图，AB是圆O的直径，PA垂直于圆O所在的平面，M是圆周上任意一点，AN⊥PM，垂足为N.求证：AN⊥平面PBM. 26 关键在于确定∠D′HO=90° 27 28 1. 直线与平面垂直的定义：“任意” 2. 直线和平面垂直的判定定理 定义的运用：线面垂直 线线垂直 关键：在平面内找到两条相交直线与已知直线垂直 线线垂直 线面垂直 3. 课堂小结 下列命题中，正确的序号是________. ①若直线l与平面α内的无数条直线垂直，则l⊥α； ②若直线l与平面α内的一条直线垂直，则l⊥α； ③若直线l不垂直于平面α，则α内没有与l垂直的直线； ④若直线l不垂直于平面α，则α内也可以有无数条直线与l垂直； ⑤过一点和已知平面垂直的直线有且只有一条. 由题意知A是M在平面ABC上的射影， ∴MA