16.2 二次根式的运算课件2022-2023学年数学沪科版八年级下册

第16章 二次根式 义务教育沪科版数学八年级下册 Start! 16.2 二次根式的运算 16.2 二次根式的运算 1 6 . 2 . 1 二 次 根 式 的 乘 除 16.2.1 二次根式的乘除 计算下列各题，观察有何规律? 观察 (1) ×＝______________， ＝______________. (2) ×＝_____________， ＝______________. 2×5 ＝ 10 ＝ 10 0.5×10 ＝ 5 ＝ 5 16.2.1 二次根式的乘除 (1) ×＝______________， ＝______________. (2) ×＝_____________， ＝______________. 思考 你发现了什么规律？你能用字母表示你所发现的规律吗？ 猜测： (a ≥ 0，b ≥ 0) 。 你能证明这个猜测吗？ 10 10 5 5 16.2.1 二次根式的乘除 因为当a ≥ 0，b ≥ 0时， ( )2 ＝ ()2· ()2 ＝ab 猜测： (a ≥ 0，b ≥ 0) 。 又 ()2 ＝ ab， ab 的算术平方根只有一个，所以 · ＝ 16.2.1 二次根式的乘除 一般地，有 性质3 由等式对称性，性质3也可以写成 ＝ (a ≥ 0，b ≥ 0). 如果a ≥ 0，b ≥ 0，那么有· ＝ 16.2.1 二次根式的乘除 例 题 例1 计算： (1) (2) (－3 ＝ ＝ (－3) × ＝－6 ＝－6 ＝－30 16.2.1 二次根式的乘除 例1 说明，根据上述性质 3 进行二次根式的运算过程中，可以把被开方数中的“完全平方因式(因数)”，用它的算术平方根代替，由根号内移到根号外。以后，我们可以利用这个办法来将二次根式化简。 16.2.1 二次根式的乘除 练 习 1. 计算： (1) (2) 6(－2) ＝ ＝ ＝ ＝ －12 ＝ ＝ ＝ 16.2.1 二次根式的乘除 2. 化简： (1) (2) ＝ ＝ ＝96 16.2.1 二次根式的乘除 (3) (4) ＝ ＝ ＝ ＝5 16.2.1 二次根式的乘除 思 考 计算下列各题，观察有何规律? (1) ＝___________； (2) ＝___________. 16.2.1 二次根式的乘除 (1) ＝___________； (2) ＝___________. 观察两者有什么关系？ 16.2.1 二次根式的乘除 观察两种组式子的结果，我们得到下面三个等式： (1) ； (2) . 特殊 一般 思考 通过上述二次根式除法运算结果，联想到二次根式乘法的运算法则，你能说出的结果吗？ 16.2.1 二次根式的乘除 问题 在前面发现的规律中，a，b的取值范围有没有限制呢？ a ≥ 0，b＞0. 若 b ＝ 0 则等式两边的二次根式没有意义！ 16.2.1 二次根式的乘除 一般地，有 性质4 如果a ≥ 0，b > 0，那么有. 算术平方根的商等于被开方数商的算术平方根. 你能仿照根式的乘法性质(性质 3)证明根式的除法性质(性质4)吗? 16.2.1 二次根式的乘除 当二次根式根号外的因数(式)不为1时，可类比单项式除以单项式法则，易得 (a ≥ 0，b > 0，n ≠ 0). 16.2.1 二次根式的乘除 性质4 如果a ≥ 0，b > 0，那么有. 也可以写成 (a ≥ 0，b > 0). 16.2.1 二次根式的乘除 例 题 例2 计算： (1) ÷ ； ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ 这里，还可这样计算： ＝. 16.2.1 二次根式的乘除 (2) ÷ ； ＝ ＝ ； 16.2.1 二次根式的乘除 二次根式的除法运算，通常采用分子、分母同乘以一个式子化去分母中的根号的方法来进行，如本节例 2(1) . 把分母中的根号化去，就是分母有理化。 对于二次根式运算的结果，我们通常还需把它化简。如例2(1)中将化为2。 16.2.1 二次根式的乘除 满足下列两个条件的二次根式就是最简二次根式： (1) 被开方数的因数是整数，因式是整式； (2) 被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。 例如，化成最简二次根式是2；化成最简二次根式是 ＝ ＝ ＝ ＝ 。 16.2.1 二次根式的乘除 化简时应注意： (1) 有时需将被开方数分解因式； (2) 当一个式子的分母中含有二次根式时，一般应 把分母有理化。 16.2.1 二次根式的乘除 练 习 1. 化简： (1) ； ＝ 16.2.1