8.6.2直线与平面垂直（第2课时） 课件-2022-2023学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

8.6.2直线与平面垂直 第2课时 线面角 如果一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直, 那么该直线与此平面垂直. 温故知新：直线与平面垂直的判定定理： 图形语言： 文字语言： 符号语言： 线线垂直 线面垂直 我们知道,当直线和平面垂直时, 该直线叫做平面的垂线。如果直线 和平面不垂直,此时又该如何刻画 直线和平面的这种关系呢? 直线与平面所成的角 如图，一条直线l与一个平面α相交，但不与这个平面垂直，这条直线叫做这个平面的斜线，斜线和平面的交点A叫做斜足． 过斜线上斜足以外的一点P向平面α引垂线PO，过垂足O和斜足A的直线AO叫做斜线在这个平面上的射影． 平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的角，叫做这条直线和这个平面所成的角． 平面的斜线 斜足 斜线在平面上的射影 斜线与平面所成的角 新知探究： 直线与平面所成的角的取值范围 ： 一条平面的斜线与所成的角θ的取值范围是0°<θ<90°； 一条直线垂直于平面，我们说它们所成的角是90°； 一条直线和平面平行，或在平面内，我们说它们所成的角是0°． 综上，直线与平面所成的角θ的取值范围是0°≤θ≤90°． P151思考：如果AB是平面α内的任意一条不与直线AO重合的直线，那么直线PA与直线AB所成的角和直线PA与这个平面所成的角的大小关系是什么？ 最小角定理：平面的斜线与平面内所有直线所成的角中，斜线与平面所成的角最小． PA与直线AB所成的角大于直线PA与这个平面所成的角． 为什么？ 例1.已知平面α的斜线l的斜足为O，射影为直线a（如图），直线b是α内过O的直线.若直线l与平面α所成角为θ1，a,b所成角为θ2，l ,b所成角为θ，求证： b M Q P a O a l 证明：过斜线l上一点P向α引垂线PQ,垂足为Q， 过Q在平面α作QM⊥b于M， 连结PM. 在Rt△POQ中， 在Rt△QOM中， 在Rt△POM中， 拓 展 学 习 深度学习：三线三角余弦公式: O Q M P 平面的斜线和它在平面内的射影所成的角， 是这条斜线和这个平面内任一条直线所成的角中最小的 角. 最小角定理： 例2：如图：正方体ABCD-A1B1C1D1中，求: （1）AB1在面BB1D1D中的射影 （2）AB1在面A1B1CD中的射影 （3）AB1在面CDD1C1中的射影 A1 D1 C1 B1 A D C B O 线段B1O 探究射影 例2：如图：正方体ABCD-A1B1C1D1中，求: （1）AB1在面BB1D1D中的射影 （2）AB1在面A1B1CD中的射影 （3）AB1在面CDD1C1中的射影 A1 D1 C1 B1 A D C B E 线段B1E 探究射影 例2：如图：正方体ABCD-A1B1C1D1中，求: （1）AB1在面BB1D1D中的射影 （2）AB1在面A1B1CD中的射影 （3）AB1在面CDD1C1中的射影 A1 D1 C1 B1 A D C B 线段C1D 探究射影 例3：如图，正方体ABCD-A1B1C1D1中，求: （1）A1C1与面ABCD所成的角 （2）A1C1与面BB1D1D所成的角 （1）0o （2）90o 新知探究：线面角的求法 （3） 如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,求直线A1B和平面A1DCB1所成的角。 D1 B A D A1 C1 C B1 （3） 如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,求直线A1B和平面A1DCB1所成的角。 D1 B O A D A1 C1 C B1 解：连接 交 于点 ,连接 设正方体的棱长为 . 平面 又 平面 为斜线 在平面 上的射影， 为 和平面 所成的角。 在 中， 直线 和平面 所成的角为 。 一作 二证 三求 注意答题规范 小结：通性通法：求斜线和平面所成的角的一般步骤： 1．作：在斜线上选择恰当的一个点，作平面的垂线，确定垂足，连接斜足和垂足，得到斜线在平面内的射影，斜线和其射影所成的角，即为斜线和平面所成的角； 2．证：证明(1)中所作出的角就是所求直线与平面所成的角； （注：关键证明线面垂直，即证得斜线在面内的射影） 3．求：通过解三角形（通常是直角三角形），求出(1)中所作的角的大小． P C B A 外 O 练习：教材P152第4题：过△ABC所在平面外一点P，作 ,垂足为O，连接PA,PB,PC. (1)若PA=PB=PC，则点O是△ABC的_____心。 (2)若PA=PB=PC ，