8.6.2直线与平面垂直（第1课时）课件-2022-2023学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

8.6.2直线与平面垂直 第1课时 直线与平面垂直判定 课程目标 学科素养 A.了解直线与平面垂直的定义． B.理解直线与平面垂直的判定定理，并会用其判断直线与平面垂直． C能利用直线与平面垂直的判定定理进行证明． 1.逻辑推理：判断直线与平面垂直； 2.数学运算：计算证垂直； 3.直观想象：直线与平面垂直的定义； 直线与平面的位置关系 【温故知新】 垂直 斜交 a b 8.6.2 直线与平面垂直1 读古诗“大漠孤烟直”你能想象怎样的几何画面？ 生活情境 如图，在阳光下观察直立于地面的旗杆AB与它在地面上的影子BC. 旗杆AB与地面上任意一条不过旗杆底部B的直线m的位置关系又是什么？由此得到什么结论？ a B 阳光下的旗杆与影子的关系 A C m 随着时间的变化，旗杆所在直线AB与影子BC所在直线是否保持垂直？ 新知探究一 如果直线l与平面内的任意一条直线 都垂直，则直线l与平面互相垂直，记作 l⊥. l叫平面的垂线，叫直线l的垂面. 直线与平面垂直时，它们惟一的公共点P 叫做垂足. 1. 直线和平面垂直的定义 垂线 垂足 垂面 判断正误： 若直线 l 与平面α内无数条直线都垂直，则l⊥α. 若 l⊥α，则直线 l 与平面α内任意一条直线都垂直. 线面垂直 线线垂直 定义 注:(1)定义中“任何一条直线”与“所有直线”是同义词,但和“无数条直线”有区别; (2)定义虽然用来证明“线面垂直”有一定困难,但是却为证明“线线垂直”带来方便,即“线面垂直,则线线垂直”,这是一种最常用的证明“线线垂直”的方法. 问题： 直接利用定义判断“线面垂直”的最大障碍——一个平面内的所有直线，无法一一列举出来.寻求转化 能否在平面内找有限条直线与已知直线垂直， 从而判定直线与平面垂直？ l 一条？ 怎么判定直线与平面垂直？ 思考： l l 两条？ 猜想：相交 探究：为什么找两条相交直线就可以？ 新知探究二：直线与平面垂直判定定理 （1）有人说,折痕AD所在直线与桌面所在平面a上的一条直线垂直,就可以判断AD垂直平面a,你同意他的说法吗? （2）折痕AD⊥BC,翻折之后垂直关系不变,即AD ⊥ CD,AD ⊥ BD,由此你能得到什么结论? 思考： a D A C B D C A B 活动探究：如图，准备一块三角形的纸片ABC，过△ABC的顶点A翻折纸片，得到折痕AD，将翻折后的纸片竖起放置在桌面上（BD，DC与桌面接触） 如果一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直, 那么该直线与此平面垂直. 直线与平面垂直的判定定理： 图形语言： 文字语言： 符号语言： 定理作用:要证明直线与平面垂直,只需要在平面内寻求两条相交直线和已知直线垂直即可.注意体会“线面垂直⇒ 线线垂直”的转化思想和定理使用的五个条件. A 结论：过一点和已知平面垂直的直线只有一条． 思考：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直， 这一结论推广到空间，过一点垂直于已知平面的直线有几条？ 为什么？ 证明： 不论点P在α内或α外， 设直线 PA⊥α， 垂足为A（或P）， P A 假设另有一条直线 PB⊥α， PA、PB确定一个平面 β， 且α∩β=l ， 这样在平面β内过点P就有两条直线PA、 PB都垂直于 l , 则 这与过平面内一点作已知 直线的垂线只有一条相矛盾. 故过点P与α垂直的直线只有一条． 结论： 过一点和一条直线垂直的平面只有一个. 探究： A a A a 探究三：点到平面的距离：　 过一点作垂直于已知平面的直线，则该点与垂足间的线段，叫做这个点到该平面的垂线段，垂线段的长度叫做这个点到该平面的距离． 如图,已知 ,求证: ∵ ∴ ∵ 是两条相交直线， ∴ 证明：在平面 内作两条相交直线m，n ∵ ， ∴ 例1、求证：若两条平行直线中的一条直线垂直于一个平面，那么另一条直线垂直于这个平面. 记住此结论 新知探究四：证明直线与平面垂直的方法 例2、在正方体ABCD-A'B'C'D'中，判断直线AC与BD'的位置关系． 新知探究五：证明直线与直线垂直的方法 V A B C . D 变式：如图，在三棱锥V-ABC中，VA=VC，AB=BC，求证：VB⊥AC. 探究 如图，PA⊥圆O所在平面，AB是圆O的直径，C是圆周上一点，则图中有几个直角三角形? 证明：∵AB是圆O的直径 ∴∠ACB=90°即BC⊥AC，三角形ABC是直角三角形 又∵PA⊥圆O所在平面， ∴△PAC，△PAB是直角三角形． 且BC在这个平面内， ∴PA⊥BC 因此BC垂直于平面PAC中两条相交直线， ∴BC⊥平面P