8.6.1直线与直线垂直 课件-2022-2023学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

8.6.1直线与直线垂直 课程目标 学科素养 A.了解空间中两条直线的三种位置关系，理解异面直线的定义，会用平面衬托来画异面直线． B.会用异面直线所成的角的定义找出或作出异面直线所成的角，会在直角三角形中求简单异面直线所成的角． C.会证线线垂直. 1.数学抽象：异面直线所成的角的定义； 2.逻辑推理：作异面直线所成的角；证线线垂直； 3.数学运算：求异面直线所成的角； 1.异面直线的概念 不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线 2.异面直线的画法 温故知新： 3.异面直线的判定方法： (1)定义法：由定义判定两直线不可能在同一平面内.(借助反证法) (2)判定定理：与一个平面相交的直线和这个平面内不经过交点的直线是异面直线 已知： 求证： 直线AB和a是异面直线 a A B · 不相同 平面内两条直线相交形成4个角，其中不大于90°的角称为这两条直线所成的角（或夹角）． 角θ即为直线a与直线b的夹角 教材P146观察：如图，在正方体A1B1C1D1-ABCD 中，直线A1C1与直线AB，直线A1D1与直线AB都是异面直线，直线A1C1与A1D1相对于直线AB的位置相同吗？如果不同，如何表示这种差异呢？ 探索新知 思考：异面直线有没有夹角呢？若有，那如何找 出这个夹角？ 如图所示，a，b是两条异面直线， 在空间中任选一点O， 过O点分别作 a,b的平行线 a′和 b′, a b P a′ b′ O 则这两条线所成 的锐角θ（或直角）， θ 称为异面直线a，b所成的角. ？ 任选 O a′ 若两条异面直线所成角为90°,则称它们互相垂直. 异面直线a与b垂直也记作a⊥b. 平移 探究一.两条异面直线所成的角 异面直线 思考：这个O点取得位置会影响直线a与b所成的角吗？ 不会，等角定理 O2 O1 b’ a’ b’ a’ O3 a’ 为简便，O点常取在 两异面直线中的一条上 当两条直线平行时，我们规定它们所成的角为0°． 空间中两条直线所成角θ的取值范围是： ． 0°≤ θ ≤90° 两直线垂直： 异面垂直、相交垂直 思考：空间两条异面直线a，b的夹角α的取值范围为？ 如果两条异面直线所成的角是直角，那么我们就说这两条异面直线互相垂直. 直线a与直线b垂直，记作a⊥b. O • α b a a′ 思考：空间两条直线垂直，它们一定相交吗？ 不一定相交，可以是异面垂直 探究二.两条异面直线所成的角的范围 探究三.两条异面直线垂直 例1 如右图，已知正方体ABCD-A′B′C′D′. (1)哪些棱所在的直线与直线AA′垂直？ (2)求直线BA′与CC′所成角的大小. (3)求直线BA′与AC所成角的大小. (4)若M为A′C′中点，N为B′C′中点，求异面直线AM与CN所成角的余弦值. 解：(1)与直线AA1垂直的棱所在直线有AB, BC, CD, DA, A′B′, B′C′, C′D′, D′A′. (2) 在正方体ABCD-A′B′C′D′中, ∵CC′∥BB′, ∴∠A′BB′为直线BA′与CC′所成的角. 而∠A′BB′=45°. ∴直线BA′与CC′所成角的大小为45°. 探究四：求异面直线所成的角 1.构造 2.证明 3.计算 4.结论 例1 如右图，已知正方体ABCD-A′B′C′D′. (3)求直线BA′与AC所成角的大小. 连接A′C′, ∵ABCD-A′B′C′D′是正方体， ∴AA′ CC′, ∴四边形AA1C1C是平行四边形. ∴AC∥A′C′, ∴异面直线BA1与AC所成的角等于60°. ∴∠BA1C1为直线BA1与AC所成的角. 连接BC′, 易知△A1BC1是等边三角形， ∴∠BA1C1=60°， 解： （作） （证） （求） 1.构造（找或作） 例1 如右图，已知正方体ABCD-A′B′C′D′. (4)若M为A′C′中点，N为B′C′中点，求异面直线AM与CN所成角的余弦值. 解：取AB中点E，连接EM，MN， ∵M，N是A′C′，B′C′中点， ∴四边形MNAE是平行四边形. M A′ B′ C′ D′ D C B A N E 2.证明 ∴MN∥A′B′，MN= A′B′, ∵E为AB中点， ∴AE∥A′B′, AE= A′B′, ∴AE∥MN, AE=MN, ∴AM∥EN, ∴∠ENC为直线AM，CN所成角. 解三角形 3.计算 4.结论 连接EC，设正方体棱长为2，易得 在△CEN中，NE= ，NC= ，EC= ， ∴异面直线AM，CN所成角的余弦值为