4.3.2等比数列的前n项和公式（第2课时）教学设计-2022-2023学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册

第四章 数列 《4.3.2等比数列的前n项和》教学设计 第2课时 · 教学目标 1.掌握等比数列的前n项和公式及其应用． 2.能在具体的问题情境中，发现数列的等比关系，并解决相应的问题. · 教学重难点 · 教学重点：等比数列的前n项和公式及其应用 教学难点：运用等比数列解决实际问题. · 课前准备 PPT课件． · 教学过程 【新课导入】 问题1：阅读课本第38~40页，回答下列问题： （1）本节将要探究哪类问题？ （2）本节探究的起点是什么？目标是什么？ 师生活动：学生带着问题阅读课本，并在本节课中回答相应问题． 预设的答案：（1）本节课主要学习等比数列的前n项和公式．（2）学生在已学习等比数列前n项和公式的基础上，引导学生利用等比数列前n项和公式解决几何问题和实际应用问题，进一步培养学生灵活运用公式的能力.发展学生逻辑推理、直观想象、数学运算和数学建模的的核心素养. 设计意图：通过阅读读本，让学生明晰本阶段的学习目标，初步搭建学习内容的框架． 问题2：等比数列的前n项和公式是什么？ 师生活动：学生回答，教师完善． 预设的答案： 已知量 首项a1、公比q(q≠1)与项数n 首项a1、末项an与公比q(q≠1) 首项a1、 公比q＝1 求和公式 设计意图：通过回顾上节课内容，引入新课． 【探究新知】 问题3：若数列｛an}是公比为q的等比数列，数列｛bn}是公差为d的等差数列，如何求数列｛an+bn}的前n项和Sn？ 师生活动：学生思考后回答，教师完善． 预设的答案： Sn=(a1+b1 )+(a2+b2 )+⋯+(an+bn ) =(a1+a2+⋯+an ) + (b1+b2+⋯+bn ) 设计意图：通过该问题让学生理解分组求和法，让学生会求一类可转化为等差数列和等比数列的求和的数列求和问题． 问题4：数列｛an}的首项为1，且an+1=2an+1，你能求出该数列的通项公式吗？ 师生活动：学生分组讨论，派代表发表看法，教师完善． 预设的答案：该数列既不是等差数列也不是等比数列，如果两边同加上1可得： an+1+1=2（an+1），又a1+1=2，所以数列{an+1}是以2为首项，公比为2的等比数列， 所以an+1=2n，所以an=2n-1，即数列｛an}的通项公式为an=2n-1． 设计意图：让学生理解用构造法求一类数列的通项公式，增强学生的逻辑推理能力． 【巩固练习】 例1如图，正方形ABCD的边长为5cm，取正方形ABCD各边的中点E,F,G,H,作第2个正方形EFGH，然后再取正方形EFGH各边的中点I,J,K,L，作第3个正方形IJKL，依此方法一直继续下去. (1) 求从正方形ABCD开始，连续10个正方形的面积之和； (2) 如果这个作图过程可以一直继续下去，那么所有这些正方形的面积之和将趋近于多少？ 师生活动：学生分组讨论，教师完善．分析的关键点是：可以利用数列表示各正方形的面积，根据条件可知，这是一个等比数列． 预设的答案：设正方形的面积为a1，后续各正方形的面积依次为a2, a3, …,an,…，则a1=25, 由于第k+1个正方形的顶点分别是第k个正方形各边的中点， 所以, 因此{an}，是以25为首项，为公比的等比数列. 设{an}的前项和为Sn （1）， 所以，前10个正方形的面积之和为cm2. (2)当无限增大时，无限趋近于所有正方形的面积和 a1+a2 +a3+⋯+an+⋯， 而, 随着n的无限增大，将趋近于0，Sn将趋近于50. 所以，所有这些正方形的面积之和将趋近于50. 设计意图：以正方形面积求和问题为背景，引导学生运用等比数列求和知识解决问题．并体会等比数列与指数函数的关系，感悟函数思想．发展学生数学抽象、数学运算、数学建模的核心素养． 例2 去年某地产生的生活垃圾为20万吨，其中14万吨垃圾以填埋方式处理，6万吨垃圾以环保方式处理.预计每年生活垃圾的总量递增5%，同时，通过环保方式处理的垃圾量每年增加1.5万吨.为了确定处理生活垃圾的预算，请你测算一下从今年起5年内通过填埋方式处理的垃圾总量（精确到0.1万吨）. 师生活动：学生读题，审题，分组讨论，派代表发言．教师完善． 预设的答案：设从今年起每年生活垃圾的总量（单位：万吨）构成数列{an}，每年以环保方式处理的垃圾量（单位：万吨）构成数列{bn}，n年内通过填埋方式处理的垃圾总量为Sn（单位：万吨），则, bn=6+1.5 n , Sn=(a1-b1 )+(a2-b2 )+⋯+(an-bn ) =(a1+a2+⋯+an )-(b1+b2+⋯+bn ) =(20×1.05+20×1.052+⋯+20×1.05n )-(7.5+9+⋯6+1.5n) 当n=5时，S5≈63.5