4.3.2等比数列的前n项和公式（第1课时）教学设计-2022-2023学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册

第四章 数列 《4.3.2等比数列的前n项和》教学设计 第1课时 · 教学目标 1．掌握等比数列的前n项和公式及其应用． 2．会用错位相减法求数列的和． 3．能运用等比数列的前n项和公式解决一些简单的实际问题. · 教学重难点 · 教学重点：等比数列的前n项公式的运用 教学难点：等比数列的前n项和公式的推导. · 课前准备 PPT课件． · 教学过程 【新课导入】 问题1：阅读课本第34~37页，回答下列问题： （1）本节将要探究哪类问题？ （2）本节探究的起点是什么？目标是什么？ 师生活动：学生带着问题阅读课本，并在本节课中回答相应问题． 预设的答案：（1）本节课主要学习等比数列的前n项和公式．（2）学生在已学习等差数列前n项和公式的基础上，引导学生类比学习等比数列前n项和公式，让学生经历公式的推导过程，体会化无限为有限，体验从特殊到一般的研究方法，学会观察、归纳、反思，进一步培养学生灵活运用公式的能力.发展学生逻辑推理、直观想象、数学运算和数学建模的的核心素养. 设计意图：通过阅读读本，让学生明晰本阶段的学习目标，初步搭建学习内容的框架． 问题2：国际象棋起源于古代印度.相传国王要奖赏国际象棋的发明者，问他想要什么.发明者说：“请在棋盘的第1个格子里放上1颗麦粒，第2个格子里放上2颗麦粒，第3个格子里放上4颗麦粒，依次类推，每个格子里放的麦粒都是前一个格子里放的麦粒数的2倍，直到第64个格子.请给我足够的麦粒以实现上述要求.”国王觉得这个要求不高，就欣然同意了.假定千粒麦粒的质量为40克，据查，2016--2017年度世界年度小麦产量约为7.5亿吨，根据以上数据，判断国王是否能实现他的诺言. 设计意图：以国际象棋为背景，提出等比数列求和问题，激发学生探究欲望.发展学生数学抽象、数学运算、数学建模的核心素养. 问题3：每个格子里放的麦粒数可以构成一个数列,请判断分析这个数列是否是等比数列?并写出这个数列的通项公式. 师生活动：学生回答，教师完善． 预设的答案：是等比数列,首项是1，公比是2，共64项. 通项公式为an=2n-1. 问题4：请将发明者的要求表述成数学问题. 师生活动：学生回答，教师完善． 预设的答案：求这个等比数列的前64项的和，即：1+2+22+23+⋯+263=？ 问题5：如何求解该问题. 师生活动：让学生回顾等差数列的前 n 项和公式的推导过程.教师完善． 预设的答案：等差数列 a1,a2, a3, …,an的前 n项和是 Sn=a1+a2+a3+…+an-2 +an-1 +an 根据等差数列的定义an+1 -an= d Sn=a1+a2+a3+…+an-2 +an-1 +an ① Sn=an+an-1+an-2+…+a3 +a2 +a1 ② 1 + ②得，2Sn=n(a1+an). 所以 问题6：对于等比数列，是否也能用倒序相加的方法进行求和呢？ 师生活动：让学生回顾等比数列的性质后回答.教师完善． 预设的答案：在等比数列中a1 +an≠a2 +an-1≠a3 +an-2， 所以2Sn≠n(a1+an). 对于等比数列求和，不能照搬倒序相加的方法，而是要挖掘此方法的本质，即求和的根本目的. 问题7：求和的根本目的是什么？ 思路：为了看清式子的特点，我们不妨把各项都用首项和公比来表示. ① 问题8：观察①式，相邻两项有什么特征？怎样把某一项变成它的后一项？ 师生活动：学生思考后回答，教师完善. 预设的答案：an=an-1 q(n≥2,q≠0) 问题9：如何构造另一个式子，与原式相减后可以消除中间项？ 师生活动：学生思考后回答，教师完善. 预设的答案： ① ② 设等比数列 {an } 的首项为a1，公比为q，则{an } 的前n项和是Sn Sn=a1+a2+a3+…+an-2 +an-1 +an， 根据等比数列的通项公式， Sn=a1+a1 q+ a1 q2+…+ a1 qn-3 + a1 qn-2+ a1 qn-1 ① qSn= a1 q+ a1 q2+ a1 q3+…+ a1 qn-2+ a1 qn-1+ a1 qn ② ①- ②得, Sn -qSn= a1 - a1qn 即Sn(1 -q)= a1 ( 1-qn). 问题10：要求出Sn，是否可以把上式两边同时除以(1 -q) ？ 师生活动：学生思考后回答，教师完善. 预设的答案：Sn(1 -q)= a1 ( 1-qn) 当1 -q=0时，即 q=1 时， 当1 -q≠0时，即 q≠1 时，. 设计意图：通过问题串，层层递进，引导学生探究等比数列的求和问题.发展学生逻辑推理、数学抽象和数学建模的核心素养. 【探究新知】 知识点1 等比数列的前