单元3 专题12 数列前n项和与通项关系问题-高中数学教学与测试·专题复习

专题12 数列前项和与通项关系问题 春点回顾 在高考中数列前项和与通项关系问题通常以解答题为主，数列的基本思想就是递推，通过对数列前” 项和与通项关系的转化来研究数列的性质，考查对鼓列简单递誰的运用、转化，同时注重归纳思想的应用. 的自主热身 倒题精讲 口已知数列{aw}的前n项和为S。,且a+1= 例口等差数列{a}的前n项和为S,…且a=5, 2m-a=1n∈N,则{a,}的通项a,=(. 4S.-1 S,=63,数列(b}的前n项和为T,满足bn=T.-1十2 (n≥2，n∈N).bh=2. A.n B.m+1 (1)求a,与bn: C.2n-1 D.2n+1 (2)求数列{ab.}的前n项和F.: (8)若兮+号+…十发<+a中1对任意正整 数n和任意x∈R恒成立，求实数a的取值范围 2已知数列{a.)满足a1=1,(a.十aet1一1)2= 4adw+1,且a,+t>an(n∈N),则数列{a.)的通项an (）. A.2n B.n C.n+2 D.3n-2 目已知数列a,的前n项和S,=号-，设 。山工为数到么的前：项和：若对狂套的 n∈N°，不等式AT,<9n十3恒成立，则实数入的取值 范围为(). A.(-00,48) B.(-∞，36) C.(-∞，16) D.(16,+∞) ④设数列{a}的前n项和为S,已知a,=1,a+= 2S。十2"，则数列{a.)的通项公式为 39 高中数学学与侧缸专题复习 例2已知数列{a}的首项为1，各项均为正数， 例图已知数列(a.的各项都为正数，且对任意 其前n项和为S。,2S=a+1a:,n∈N. n∈N”,都有a+1=a,a+”十k(k为常数). 《n+1w (1)若k=(a:一a1)2,求证：a1,ag,aa成等差 (1)求a,a的值： 数列. (2)求证：数列{4.}为等差数列： (3)设数列(.}满足b=1,b+1b=a,求证： (2)若k=0,且a2,a4,a成等差数列，求a的值. 公>≥2m-1 (3)已知a=a,a:=b(a,b为常数)，是否存在常 数，使得a,十au+=Aa1对任意n∈N都成立？若 存在.求出入：若不存在，请说明理由. 40 依题意，不等式T十A≥3对任意的n∈N·都成 样倒剖折 a 立，即3-23+2产3对任意neN恒成立，所 已知数列(a,的前n项和为5，设，=受。 以X≥(2m十3)②m-1D对任意n∈N恒成立. 20 1)若4S。=2十1，记数列{6.的前n项和为 令p(m)=(2m+3)2m-1,则 2 T,①求证：数列(a}为等差数列：②若不等式T,十 之≥3对任意的n∈N都成立，求实数入的最小值. p(n+1)-p(n)=(2m+D(2m+5) 2+7 a (2)若a.>0.且S,+1≥2a1,是否存在正整数k, (2n-1)(21+3)=-4m2+4m+1山 2+1 使得无穷数列+1，b+,b+a…成公差不为0的等差 所以当m=1,2时，p(n十1)一p()>0,即p<p< 数列？若存在，给出数列{a}的一个通项公式：若不存 p,且当n≥3，n∈N时，p(n十1)-p(n)<0,即p≥ 在，请说明理由。 p>p>…. 分析对于问题(1)要引导学生多次作差，利用等 差中项进行判断，或利用累乘进行化筒，对于何题(2) 所以当=3时，（取得最大值A=侣 要结合不等放缩及戴列的有界性推出不存在这样的正 整数k. 所以A>号，失数入的最小值为积 解1)①因为45。-1-2m+1,4S.-1-(2m+ (2)因为S+1≥2a+1,所以S+1≥2(S+1-S,), 即S+1≤25. 1)a,(i),所以4S+1-1=(2n+3)ar1(i). (i)-(ii),得4a+1=(2n+3)a,+1-(2n+1)an,即 而由a,>0,知S>0,款气。<2 (2n十1)a.=(2n-1)a+1(ii). 故当n2,n∈N时，(21-1)a。-1=(2-3)a.(iv). 所以-·…<2 S.SS (ii)-(iv),得当n≥2，n∈N*时，(2n+1)an十 S<a·2a≤2s1<a,·2 (2n-3)am=(2n-1)a-1+(2n-1)am+1: 整理得2an=a。-1十a.+1,即a+1一a。=an一aw-1 所以当>≥2时a,<a,·26=尝<a 所以数列{a,】为等差数列. 假设存在k∈N,b+1,b-r,+,…成等差数列， ②因为4S.-1=(2n十1)a.,令n=1,2,得451 1=3a1,4S:-1=5az,p4a1-1=3a1,4(a1十a:）- 公差为dd≠0).则=h+(n-1)d≤子a 1=5au,解得a1=1,ae=3. 若d<0,期当>1-行n∈N时，6，<0，两 结合①可知，a。=2m-1,故6.=21-1 a,