精品解析：福建福州市平潭新世纪学校2025-2026学年高一下学期期末质量检测数学试题

2025～2026学年第二学期平潭新世纪学校 高一数学期末质量检测 【完卷时间：120分钟；满分：150分】 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 若复数，其共轭复数为，是虚数单位，则下列说法正确的是（ ） A. 的虚部为 B. 在复平面内对应的点在第二象限 C. D. 2. 已知向量，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知直线和平面，，则下列命题中正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 4. 某学习小组共5名同学，某次模拟考试的数学成绩平均分为100．已知其中4名同学的成绩分别为96，98，102，104，则这5名同学成绩的第80百分位数是（ ） A. 98 B. 102 C. 103 D. 104 5. 一个盒子中装有4支铅笔，其中2支一等品，1支二等品和1支三等品．若从中任取2支铅笔，则恰有1支铅笔是一等品的概率为（ ）． A. B. C. D. 6. 已知的三个内角A，，的对边分别为，，．若，，且的面积为，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知的外接圆圆心为，且，，则向量在向量上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，测量河对岸的塔高时，可以选与塔底B在同一水平面内的两个测点C与D．现测得，，，并在点C测得塔顶A的仰角为，则塔高为（ ）． A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 抛掷一颗质地均匀的骰子，观察向上的面的点数，“点数为偶数”记为事件M，“点数为奇数”记为事件N，“点数小于4”记为事件Q．下列说法正确的是（ ）． A. M与N为互斥事件 B. M与Q为对立事件 C. N与Q不为互斥事件 D. N与Q为相互独立事件 10. 若平面向量，满足，，则下列说法正确的是（ ） A. B. 与的夹角为 C. D. 11. 如图，在棱长为1的正方体中，为棱的中点，为正方形内一动点（含边界），则下列说法中正确的有（ ） A. 直线与所成角的正切值为 B. 用平面截该正方体，所得截面周长为 C. 若平面，则长度的取值范围为 D. 若，则动点的轨迹长度为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 某校为了解学生的学习情况，采用比例分配的分层随机抽样的方法，从高一1000人、高二1200人、高三1400人中抽取若干人进行问卷调查，若高二被抽取30人，则高三被抽取_____人． 13. 已知，，点在线段的延长线上，且，则点的坐标为_____． 14. 如图，一个底面边长和侧棱长均为8的正三棱柱密闭容器，其中盛有一定体积的水．若侧面水平放置时，水面恰好经过D点，且，那么当底面水平放置时，水面高为__________． 四、解答题：本题共5小题；共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知复数，则 （1）当实数m取什么值时，z是实数； （2）当实数m在什么范围时，z在复平面内对应的点在第二象限． 16. 2025年“五一”假期，全国国内出游3.14亿人次，同比增长6.4%，这一数据反映了民众出行意愿高涨，折射出我国内需市场的活力．某景点为提升服务水平，对部分游客发起满意度调查，满意度采用百分制，统计结果绘制成如下频率分布直方图． （1）求图中的值，并估计满意度得分在75分及以上所占的百分比； （2）估计满意度得分的中位数和平均数（同一组中数据用该组区间的中点值作代表）． 17. 在中，角所对的边分别为，已知． （1）求角的值； （2）若，的面积为，求边长的值． 18. 某高校“强基计划”自主招生的面试中有三道不同的题目，每位面试者依次作答．若答对两道题目，则面试通过，结束面试；若答错两道题目，则面试不通过，结束面试．已知李明答对第一道题目的概率为，答对第二道题目的概率为，答对第三道题目的概率为，假设每道题目是否答对是独立的． （1）求李明第二次答题后结束面试的概率； （2）求李明最终通过面试的概率． 19. 如图，在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，侧面是正三角形，，是的中点. （1）求证：平面； （2）求平面与平面所成二面角的余弦值； （3）若是的中点，线段上是否存在一点，使得平面?若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025～2026学年第二学期平潭新世纪学校 高一数学期末质量检测 【完卷时间：120分钟；满分：150分】 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 若复数，其共轭复数为，是虚数单位，则下列说法正确的是（ ） A. 的虚部为 B. 在复平面内对应的点在第二象限 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】对于A，由虚部定义可得答案；对于B，由复数坐标表示可得答案；对于C，由共轭复数定义可得答案；对于D，由复数模计算公式可得答案. 【详解】对于A，复数的虚部为，故A错误； 对于B，对应的点为，在第三象限，故B错误； 对于C，因，则，故C正确； 对于D，，故D错误. 故选：C 2. 已知向量，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用平面向量的坐标运算求解即可. 【详解】因为，所以， 则，故C正确. 故选：C 3. 已知直线和平面，，则下列命题中正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 【答案】A 【解析】 【分析】根据线面平行的性质以及面面垂直的判定定理可判断A；根据面面垂直的性质可判断线面位置，判断B；根据面面、线面平行的性质可判断C；由于和同一条直线平行的平面可能相交，即可判断D. 【详解】对于A，过m作平面与相交于l，由于，则， 由，可得，而，故，A正确； 对于B，若，，则或则，B错误； 对于C，若，，则或，C错误； 对于D，若，，则或相交，D错误， 故选：A 4. 某学习小组共5名同学，某次模拟考试的数学成绩平均分为100．已知其中4名同学的成绩分别为96，98，102，104，则这5名同学成绩的第80百分位数是（ ） A. 98 B. 102 C. 103 D. 104 【答案】C 【解析】 【分析】先利用平均数得到另外一个学生的成绩，然后根据百分位数的求法即可求解. 【详解】依题意设另外一名同学的成绩为，则，解得. 将这5名同学的成绩按从小到大的顺序排列为96，98，100，102，104，且， 则成绩的第80百分位数即为排序后的第4个和第5个数据的平均数，所以这5名同学成绩的第80百分位数是. 故选：C. 5. 一个盒子中装有4支铅笔，其中2支一等品，1支二等品和1支三等品．若从中任取2支铅笔，则恰有1支铅笔是一等品的概率为（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用列举法并根据古典概型的概率公式计算可得. 【详解】由题意将4支铅笔中2支一等品用，表示，1支二等品用表示，1支三等品用表示， 则从中任取2支的情况为：，，，，，共6种情况， 则恰有1支铅笔是一等品的情况有，，，，共4种符合， 所以恰有1支铅笔是一等品的概率为，故D正确. 故选：D. 6. 已知的三个内角A，，的对边分别为，，．若，，且的面积为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由三角形面积公式可得，然后由余弦定理可得. 【详解】, 则由余弦定理，. 故选：B 7. 已知的外接圆圆心为，且，，则向量在向量上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据条件作图，可得为等边三角形，为等腰三角形，为直角三角形，即，，再根据投影向量的概念求解即可. 【详解】如图，由，可得为的中点， 又因为为的外接圆圆心，所以， 又因为，所以， 所以为等边三角形，即， 为等腰三角形，即， 为直角三角形，， 所以向量在向量上的投影向量为 . 故选：D. 8. 如图，测量河对岸的塔高时，可以选与塔底B在同一水平面内的两个测点C与D．现测得，，，并在点C测得塔顶A的仰角为，则塔高为（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由正弦定理求出,再根据正切函数定义求解. 【详解】在中，，，，则夹， 由正弦定理可得： 故选：B. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 抛掷一颗质地均匀的骰子，观察向上的面的点数，“点数为偶数”记为事件M，“点数为奇数”记为事件N，“点数小于4”记为事件Q．下列说法正确的是（ ）． A. M与N为互斥事件 B. M与Q为对立事件 C. N与Q不为互斥事件 D. N与Q为相互独立事件 【答案】AC 【解析】 【分析】根据互斥事件、对立事件、以及独立事件的概念一一判断各选项，即得答案. 【详解】由于偶数点和奇数点不会同时发生，故M与N为互斥事件，A正确； 由于出现2点时，事件M与Q同时发生，故M与Q不为对立事件，B错误； 由于出现1、3点时，事件N与Q同时发生，N与Q不为互斥事件，C正确； ，, 则，即N与Q不为相互独立事件，D错误， 故选：AC 10. 若平面向量，满足，，则下列说法正确的是（ ） A. B. 与的夹角为 C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】通过向量模的平方与点积的关系求出，再依次验证向量夹角、向量垂直关系、向量差的模，确定正确选项. 【详解】对于A，由，代入，， ，，解得，故A正确. 对于B，设与的夹角为，由，得：， ，则，故B错误. 对于C，，故，故C正确. 对于D，由，得，故D正确. 故选：ACD 11. 如图，在棱长为1的正方体中，为棱的中点，为正方形内一动点（含边界），则下列说法中正确的有（ ） A. 直线与所成角的正切值为 B. 用平面截该正方体，所得截面周长为 C. 若平面，则长度的取值范围为 D. 若，则动点的轨迹长度为 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A：利用三角函数定义即可求得结果.对于B：做出截面的图形，分别求每条边的长即可求得结果, 对于C：找出点Q的轨迹，即可求出长度的取值范围，对于D：同样找出点Q的轨迹，即可求出动点的轨迹长度. 【详解】对于A： 如图，连接,直线与所成角即直线与所成角,即, 在三角形中，,故A正确； 对于B，如图，截面为等腰梯形， 周长，B错误； 对于C，如图取中点的中点为，平面即为平面, 因为,平面,平面,平面, 同理：平面,所以平面平面， 动点的轨迹为线段，，又可知是等腰三角形， 所以,最小值为边上的高， 可得的长度取值范围为，C正确； 对于D，因为平面，平面，所有， 则有，所以点轨迹是以为圆心，为半径的圆弧， 圆心角是，轨迹长度为，D正确． 故选：ACD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 某校为了解学生的学习情况，采用比例分配的分层随机抽样的方法，从高一1000人、高二1200人、高三1400人中抽取若干人进行问卷调查，若高二被抽取30人，则高三被抽取_____人． 【答案】35 【解析】 【分析】根据分层抽样的基本原则，计算各层人数即可. 【详解】设高三抽取人，则由分层抽样可知，解得， 故答案为：35. 13. 已知，，点在线段的延长线上，且，则点的坐标为_____． 【答案】 【解析】 【分析】设点的坐标为，依题意可得，即可得到方程组，解得即可； 【详解】点，，点在线段的延长线上，且， 设点的坐标为，则，，且， 即，解得， 所以点为． 故答案为：． 14. 如图，一个底面边长和侧棱长均为8的正三棱柱密闭容器，其中盛有一定体积的水．若侧面水平放置时，水面恰好经过D点，且，那么当底面水平放置时，水面高为__________． 【答案】 【解析】 【详解】设底面正三角形的边长为，其面积为 当侧面水平放置时，水面与交于，与交于，由水面平行于侧面得，故， 由得相似比，因此 水的横截面积为梯形ABED的面积： 正三棱柱侧棱长为，故水的体积为 当底面ABC水平放置时，设水面高度为，水形成底面积为、高为的正三棱柱，因此 代入得 四、解答题：本题共5小题；共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知复数，则 （1）当实数m取什么值时，z是实数； （2）当实数m在什么范围时，z在复平面内对应的点在第二象限． 【答案】（1）1 （2） 【解析】 【分析】（1）根据复数的类型得到方程和不等式，求出答案； （2）根据所在象限得到不等式组，求出答案. 【小问1详解】 由题意得且，解得； 【小问2详解】 由题意得，解得， 故当时，z在复平面内对应的点在第二象限. 16. 2025年“五一”假期，全国国内出游3.14亿人次，同比增长6.4%，这一数据反映了民众出行意愿高涨，折射出我国内需市场的活力．某景点为提升服务水平，对部分游客发起满意度调查，满意度采用百分制，统计结果绘制成如下频率分布直方图． （1）求图中的值，并估计满意度得分在75分及以上所占的百分比； （2）估计满意度得分的中位数和平均数（同一组中数据用该组区间的中点值作代表）． 【答案】（1）， （2）中位数为82.5，平均数为82 【解析】 【分析】（1）根据频率分布直方图各矩形面积和为1求出的值，再根据分位数的定义求满意度得分在75分及以上所占的百分比即可； （2）解法一、二都可以根据频率分布直方图的中位数和平均数的计算公式求解即可. 【小问1详解】 由频率分布直方图可知，解得， 满意度得分在75分以上所占百分比为. 【小问2详解】 解法一： 因为满意度在内的频率为， 满意度在内的频率为，所以中位数在内， 设中位数为，则有， 解得，所以满意度得分的中位数为， 满意度得分的平均数为：． 解法二： 因为满意度在内的频率为， 满意度在内的频率为，所以中位数在内， 由可得中位数为82.5． 满意度得分的平均数为：． 17. 在中，角所对的边分别为，已知． （1）求角的值； （2）若，的面积为，求边长的值． 【答案】（1） （2）2 【解析】 【分析】（1）根据题意，整理得，结合余弦定理，求得，即可求解； （2）根据题意，求得的值，由正弦定理和面积公式，得到，得出方程，即可求解. 【小问1详解】 由，整理得， 由余弦定理得， 因为，所以． 【小问2详解】 因为且，可得， 所以， 由正弦定理，可得， 所以， 因为， 所以，可得． 18. 某高校“强基计划”自主招生的面试中有三道不同的题目，每位面试者依次作答．若答对两道题目，则面试通过，结束面试；若答错两道题目，则面试不通过，结束面试．已知李明答对第一道题目的概率为，答对第二道题目的概率为，答对第三道题目的概率为，假设每道题目是否答对是独立的． （1）求李明第二次答题后结束面试的概率； （2）求李明最终通过面试的概率． 【答案】（1） （2）． 【解析】 【分析】（1）设表示“李明答对第道题目”，，设表示“李明第二次答题后结束面试”，则，然后根据互斥事件和独立事件的概率公式可求得结果； （2）设表示“李明最终通过面试”，则，然后根据互斥事件和独立事件的概率公式可求得结果 【小问1详解】 设表示“李明答对第道题目”，．设表示“李明第二次答题后结束面试”， 则，且，互斥． 因为每道题目是否答对是独立的，所以与．相互独立，与相互独立， 于是． 【小问2详解】 设表示“李明最终通过面试”，则且互斥， 所以 ． 因此，李明最终通过面试的概率是． 19. 如图，在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，侧面是正三角形，，是的中点. （1）求证：平面； （2）求平面与平面所成二面角的余弦值； （3）若是的中点，线段上是否存在一点，使得平面?若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） 取的中点，连接， 因为，所以⊥， 又因为侧面是正三角形，所以，故⊥， 因为，平面，所以⊥平面， 因为平面，所以⊥， 因为底面是正方形，所以. 又因为，面，，所以面. （2） （3）存在， 【解析】 【分析】（1）作出辅助线，由三线合一得到⊥平面，故⊥，结合，得到线面垂直； （2）即为平面与平面所成二面角的平面角.在中，根据余弦定理即可求解； （3）解法一：在面内，过作交于，在线段上取点，使，根据线面平行的判定定理可证平面，进而可得.根据平行线分线段成比例的性质可得，从而面，利用面面平行的判定定理与性质即可证明； 解法二：连接并延长交于，连接，连接交于.分析可知.由线面平行的性质定理可证，所以. 解法三：连接并延长交于，连接.设，则.根据向量的线性运算可知.根据三点共线的推论即可求解，从而.由线面平行的性质定理可证，所以. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）知，， 所以为平面与平面所成二面角的平面角. 由勾股定理得，， 又，故，所以， 在正三角形中，， 在中，根据余弦定理可得： ， 所以平面与平面所成二面角的余弦值为. 【小问3详解】 解法一：线段上存在一点，使平面且， 证明如下： 在面内，过作交于，在线段上取点，使， 连接，，如图所示. 又因为平面，平面，所以平面. 因为是的中点，所以是中点.又是中点，所以. 因为，所以. 又因为面，面，所以面. 又，面，，所以面面. 又面，所以面. 所以线段上存在点，使平面且. 解法二：线段上存在一点，使平面且， 证明如下： 连接并延长交于，连接，连接交于，如图所示. 因为是的中点，是的中点，所以，所以是的中点. 又因为是的中点，所以是的中点，所以. 因为面，面，面面，所以. 所以. 解法三：线段上存在一点，使平面且，证明如下： 连接并延长交于，连接，如图所示. 设，则. 因为是的中点，是的中点，所以， 则. 又因为，，三点共线，所以，解得，所以. 因为面，面，面面，所以. 所以. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $