单元1 专题6 利用导数研究函数的性质-高中数学教学与测试·专题复习

高中数学致学与侧缸专题复习 专题6 利用导数研究函数的性质 春点回顾 利用导数研究函数的性质在高考中主耍体现在以下儿个方面：一是利用导数求函数的单调区间，这类问 题常与解含参数的不等式联系在一起，重视分类讨论思想和数形结合思想的应用，二是利用导数求函数的极 值和最值（包括求取值范国和求值城等问题），简单一点的考查就是列个表，比较一下大小，就能够得到结果： 难一点的考查可能含有参数，需要对参数进行讨论，或者与其他知识点综合，如数列、解析几何等，很可能出 现在高考的压轴题中。三是利用导数证明不等式，这类问题比较灵活，需构造新函数，再利用导数研究新函数 的单调性，尤其重视活学活用，往往上一问的结论能为下一问的解决确定解题方向或直接为下一问所用 自王热身 倒题精讲 ■函数f(x)=lnx十ax的图象存在与直线2x 例口(2020·全国I卷)已知函数f(x)-e+ y=0平行的切线，则实数。的取值范围是( ). ax-4. A.(-∞，2] B.(-o,2) (1)当a=1时，讨论f(.x)的单调性： C.(2,+c∞) D.(0.+o0) (2)当≥0时，x)≥号+1，求实数a的取值 日若曲线y=心十升<一1D存在两条垂直 范围. 于y轴的切线，则m的取值范围为( A() [-go) C(积，+ n(1.) 目（多选题）已知函数f(x)=x十sinx-rcosr 的定义域为[一2π，2x).则() A.f(x)为奇函数 B.f(x)在[0，x)上单调递增 C.f(x)恰有4个极大值点 D.f(x)有且仅有4个极值点 ④已知函数f(x)=|x+a.x+b(a,b∈R),若 对任意的x,∈[0,1门，f(x)一f(x)≤2x1一r| 恒成立，则实数a的取值范围是 20 例2(2020·全国Ⅱ卷)已知函数f(x)= 例3已知函数f(x)=e'一a(x+lnr). sin'csin2.c. (1)若a=0,求函数f(x)在x=1处的切线方程： (1)讨论f(x)在区间(0，r)上的单调性： (2)讨论f(x)极值点的个数： ②》证明：1<3点， (3)若x是f(x)的一个极小值点，且f(x)>0, i证明：f(.x6)>2(xo-xd). (3)设u∈N·,证明： ·in2·sin4r…sim2<第 21 高中数学致学与侧缸专题复习 样倒剖折 A(日）=-lna+a-1=0. 令g(a)=-lna十a-1,则g'(a)=1-1=4-」 已知函数fx)=nx-受r+(a-1)x,其导函 当0<a<1时，g'(a)<0:当a>1时，g'(a)>0. 数f(x)的最大值为0. 所以g(a)在(0,1)上单调递诚，在(1，十∞)上单调 (1)求实数a的值： 递增。 (2)若f(）+f()=一1(x≠).证明：x+ 因此，g(a)≥g(1)=0,故a=1. x2>2. (2)由(1)知a=1,救f(x)=xnr-号 x,则 分析第(1)题研究函数最值的关键在于了解函 f(r)=1+Inr-x. 数的单调性，需要分a≤0与a>0两种情况讨论：第 由(1)知f(x)=1十ln.x一x≤0恒成立（仅当x (2)题要证明十：>2，就是证明两个变量之间的大 小关系，可利用对称性将·工转化到同一个单调区 1时fx)=0),所以fx)=rlr-r在0，+oo) 间，利用函数f(x)的单调性及面数值f()十f(x)= 一1证明不等式. 上单调递减，且)=一名：于是八)+)= 解(1)由题意得函数f(.x)的定义域为(0，十©)， -1=2f(1).不妨设0<x1<x,则0<1<1<x fx)=lnr-ax-1,记hx)=f(x),则hc)=1ar 欲证1十r>2,只需证x:>2一1，因为f(x)在 (0,+o)上单调递减，所以只需证f(x:)<f(2一x). 当4≤0时，h'(r)=≥0恒成立，所以h(x) 又因为f()+f(x)=-1,所以只需证-1-f()< f(2-x1),即证f(x,)十f(2-x1)>一1. 在(0，十∞)上单调递增，且h(1)=0,所以任意x∈(1， 令F(x)=f(x)十f(2-x)(其中x∈(0,1))，则 十∞)，有h(x)=f(x)>0,故a≤0时不成立. F(1)=-1,所以欲证f(2-x1)十f(x)>一1，只需证 方法1当a>0时，若x∈(0，）则h() F(x)>F(1),x∈(0,1). 由F(.x)=f(.x)-f(2-x)=1+lnx-x-[1+ 1>0:者(+小则)=l<0, ln(2-r)-2+x],整理得F(.x)=lnx-ln(2-x)+ 所以hx)在(0，)上单润递增，在（日，+）上 21-x),x∈(0,1，赦F(x)=21-x) x(2->0,x∈(0， 单调递减.又(1)=0. 1),所以F(x)在区