单元1 专题4 函数的零点问题-高中数学教学与测试·专题复习

专题4 函数的零点问题 春点回顾 西敏零点在高考中属于高频考，点，几乎在每年高考中都有所涉及，常位于速择、填空、解答的后半部分， 属于中高难度的试题.研究西数零点问题常有代数法（解方程）和几何法（图象法），解决此类问题的关健是函 数形式的有效选择。在问题解决过程中，需要熟练掌握函数的零点，对应方程的根、两个拾当函数图象的交点 这三者之问的等价转化，以及掌挺转化与化归、西数与方程、数形结合，分类讨论，推理论证的数学思想方法 自主热身 倒题精讲 ☐函数fx)=2一x产的零点个数为( 团卫知函数)=r一号 A.1 B.2 C.3 D.4 (1)讨论f(.x)的单调性，并证明f(x)有且仅有两 ☑设函数y=f(x)为偶函数，当x≥0时，f(x)= 个零点： x(3-x),0≤x≤3， (2)设xn是f(x)的一个零点，证明：曲线y=lnz 若函数y=f(x)一m有四个 在点A(xo,Inro)处的切线也是曲线y=e的切线. -2+1,>3 不同的零点，则实数m的取值范围是( A[1) B1,) c(o,) D.( 目（多选题）已知函数f八x)= 2r-F,0r2 2f(x-2),xr≥2， g(x)=kx十2，若函数F(x)=f(x)-g(x)在[0，十∞) 上只有两个零点，则实数k的值可能为() A.-号 以一司 c-4 D.-1 ④若函数f(x)=x十a.x+bx+c有极值点x, 工，且f(x)=,则关于x的方程3[∫(x)]+ 2af(x)+b=0的不同实根有个. 13 高中数学致学与侧试专题复习 例2已知函数f(x)=a.r2-x-ln.x,a∈R. 例3已知函数f(x)=sinr-ln(1+x),f(r)为 (1)若一1≤a≤0.证明函数f(x)有且只有一个 f(x)的导数.证明： 零点： (1)了()在区间（一1，受）上存在唯一极大值点： (2)若函数f(x)有两个零点，求实数d的取值 范围. (2)f(x)有且仅有2个零点. 14 样倒剖析 变式练习 已知函数)=了r-ar++l. 已知函数f(.x)=e一a.x2. (1D若a=1,证明：当x≥0时，f(x)≥1： (1)若a一3，求f(x)的单调区间： (2)若f(x)在(0，+∞)上只有一个零点，求实数 (2)证明：f(r)只有一个零点. a的值. 分析第(1)题利用导数可以求得函数的单调区 问：第(2)题证明函数f()只有一个零点，只要利用函 数零点存在定理和函数的单调性即可， 解)当a=3时，f)=号-3n-3r-3, f(x)=x2-6x-3.令f(x)=0,解得x=3-2√3成 3+2√5.当x∈(-o,3-25)或(3+23，+∞)时 f(x)>0:当x∈(3-23,3+2、3)时，f(x)<0.故 f(x)在(-，3-2V3),(3+2v3,十o)上单调递增， 在(3一2、3,3+2√5)上单调递减. (2)由于x2+x十1>0，所以f(x)=0等价于 2+x+1-3a=0.设gr)=c+x+-3a,则g(r)= 》>0,仅当=0时R()=0,所以 g(,x)在R上单调递增，故g(x)至多有一个零点. 又f3a-D=-6a+2a-3=-6(e-8) 名<0，f3a+1)-}>0,款)有-个零点. 综上，f(x)只有一个零点. 说明本题需要注意的是单调区间之间轻易不要 合并.另外，在研究函数单调性的时候，有时为了减少 求导的次数，合理地避开分类讨论，我们可以对函数的 结构作合理的变形，利用方程作为桥粱，我们可以将函 数)=号r-ar+十1D只有-个零点的同题我 化为g(r)=F千r+一3a只有-个零点的问题，这 样只要一次求导就可以解决问题，重点考查考生的转 化与化归，逐辑推理能力. 15单元 1 函数与导数 高中数学教学与测试专题复习（教师用书） 30 解 (1)当 a＝b＝1 时，f(x)＝x3＋x2－4，𝑓′(𝑥) = 3𝑥2 + 2𝑥 = 𝑥(3𝑥 + 2). 令𝑓′(𝑥) > 0，解得 x>0 或 x<－ 2 3 ，所以 f(x)的单调增区间是   －∞，－ 2 3 ,(0，＋∞)． (2) 𝑓′(𝑥)＝3ax2＋2bx，令𝑓′(𝑥)＝0，得 x＝0 或 x＝－ 2b 3a ，因为函数 f(x)有两个不同的零 点，所以 f(0)＝0 或 f   － 2b 3a ＝0. 当 f(0)＝0 时，得 a＝0，不合题意，舍去. 当 f    － 2b 3a ＝0 时，代入得𝑎 (− 2𝑏 3𝑎 ) 3 + 𝑏 (− 2𝑏 3𝑎 ) 2 − 4𝑎 = 0，即− 8 27 ( 𝑏 𝑎 ) 3 + 4 9 ( 𝑏 𝑎 ) 3 − 4 = 0， 所以 𝑏 𝑎 = 3.