单元1 专题3 三次函数的图象与性质-高中数学教学与测试·专题复习

专题3 三次函数的图象与性质 2春点回顾 三次函数f(x)=a.x十bx十ex十d(a≠0)的导函数是f(x)=3ax2十2bx十c,故三次函数与二次西数 有着非常紧密的联系，在高考中同样占据着非常重要的位置，在近几年的高考中，三次函数问题屡次作为压 轴题型出现，需要引起广大师生的重视.熟悉三次函教的模型，掌提其图象及性质，对于解决三次函数的极值 最值问题、对称性问题和切线问题等都有着非常重要的作用， 自主热身 倒题精讲 ☐已知点P(xan)是曲线C:y=x2-x+1上 例口已知函数f(x)=2.x3-ax2十b. 的点，曲线C在点P处的切线与y=8x一11平行，则 (1)讨论f(x)的单调性. (). (2)是否存在a,b,使得f(.x)在区间[0,1]上的最 A.x。=2 Bx=-音 小值为一1且最大值为1？若存在，求出a,b的所有 值：若不存在，请说明理由. C4=2或x=-音 D.=-2或x=3 4 2(多选题)已知函数f(x)=x2+2a.x2+bx十a 在x=1处的极值为6，则数对(a,b)为(). A.(-2.5) B.(-19,4) C.(4,-19) D.(2,-5) a(2020·浙江卷)已知a,b∈R且ab≠0，若 (x一a)(x一b)(x-2a-b)≥0对x≥0恒成立，则 (). A.a<0 B.a>0 C.b<0 D.b>0 4若函数f(x)一x21x-4在区间[0,2]上单调 递增，则实数a的取值范围是 9 高中数学致学与侧缸专题复习 例2已知函数f(x)=x3-3.x+ax+2,曲线 圆国已知函数fx)=号x-+x y=(x)在点(0,2)处的切线与x轴交点的横坐标为一2. (1)求曲线y=f(x)的斜率为1的切线方程： (1)求实数a的值： (2)当x∈[一2,4]时，求证：x-6≤f(x≤x: (2)证明：当k<1时，曲线y=(x)与直线y (3)设F(.x)=|f(x)-(.x十a)|(a∈R),i记F(x) kx一2只有一个交点. 在区间[一2,4门上的最大值为M(a),当M(a)最小时， 求实数a的值. 10 因为0<b≤1，所以△=4(b十1)2一12b=(2b一 样倒剖析 1)+3>0,则f(x)有2个不同的零点，设为x,x 设函数f(.x)=(r-a)(x-b)(x-c),a,b,c∈R, （x<.由f(x)=0,得= +1--b+工 3 f(x)为f(x)的导函数. =6+1+B-6+ (1)若a=b=c,f(4)=8,求a的值： 3 (2)若a≠b.b=e,且f(x)和f(x)的零点均在集 列表如下： 合一3,1,3}中，求f(.x)的极小值： (x1,2) 1 (,十o) (3)若a=0,0<b≤1，c=1,且f(x)的极大值为 f(r) + 0 0 M.求证，M≤易 f(r) 极大值 极小值 分析本题第(1)题由题意得到关于a的方程，解方 方法1所以f(x)的极大值M=f(x),因为0< 程即可确定a的值：第(2)圈先求出f(x)和f(x)的零点， b≤1.所以x1∈(0.1). 因为a≠(2---,<0，所 当x∈(0,1)时，f(x)=x(x-b)(x-1)≤x(x 9 1).令g(x)=x(x-1)2,x∈(0,1)，则g'(x)= 以可以确定2a十b=1,进一步分类讨论可以发现a=3, 3 3e-3)x-1. b=一3，然后易求函数的极小值：第(3)题因为函数 令g'(x)=0,得x= f()在x处取得极大值，由于西=b十1-V一b+I 3·列表如下： 3 比较复杂，直接代入表示M有一定难度，故常用设而 不求法表示M,再结合条件利用放缩法证明不等式. g'(r) + 0 解(1)因为a=b=c,所以f(.r)=(x-a)(x g(r) 校大德 b)(x-c)=(x-a).因为f(4)=8,所以(4一a)'=8, 解得a=2. 所以当x= 3时，g(x)取得授大值，且是最大值， (2)因为b=c,所以f(x)=(x-a)(x-b)°= x3-(a+2b)x2+b(2a十b)x-ab,从商(x)= 3c-创e-20中令了）)-0，得-6我r 所以当xE(0,1)时，)≤gr)≤奇：因此M克 2a+b 3 方法2极大值M=)=五G-1Da-0=号× 因为a,b,2a十都在集合{-3,1,3)中，且a≠6， 3 2m1-w-号×[24+1-)+-门= 3 所以2a+b-1a=3,h=-3. 3 ×告)≤（当且仅当61函-号时取等号） 此时f(x)=(x-3)(x+3)2,f(x)=3(x+ 方法3授大值M=f(x)=x1(.-1)(.x1一b)= 3)(x-1).令f(x)=0,得x=一3或x=1.列表 -(b+1).x+bx1=(1一x)h+(x-x),记g(b) 如下