单元4 专题19 直线与圆锥曲线的问题-高中数学教学与测试·专题复习

高中数学致学与测侧缸专题复习 专题19 直线与圆锥曲线的问题 春点回顾 直线与圆锥曲线是解析几何中的另一重点内容，可联立直线方程和圆锥曲线方程，消元得到关于x(或y) 的一元二次方程，通过二次方程的解的情况来讨论直线和二次曲线的性质及位置关系，此类问题常常涉及变 量的求值和最值（范国）问题，一方面委挖掘辅圆和抛物线的性质，如弦长公式，焦点弦性质等，另一方面要用 到方程和函数的思想方法，而怡当地选择函数的自变量至关重要。 自主热身 日卫知椭圆C:后+若-1(a>6>0)的左，右焦 点分别为F,F.F也是抛物线E:y=2px(p>0)的 口若过椭圆写+号=1内一点P(3,1)的弦被该 焦点·点A为椭圆C与抛物线E的一个交点，且直线 AF,的倾斜角为45°，则椭圆C的离心率为(). 点平分，则该弦所在的直线方程为(). A.6-1 A.3r+4y-13=0 1B.3x-4y一5=0 2 B.12-1 C.4x+3y-15=0 D.4x-3y-9=0 C.3-5 D.w2+1 ☑已知点F为抛物线C: 日已知P为椭圆子+苦-1上一动点，BF为圆 y=2pr(p>0)的焦点，过点F的 直线交抛物线C于A,B两点（点 N:(x一1)+y=1的任意一条直径，那么PE.PF的 A在第一象限)，过点A,B分别作 最大值为 抛物线C的准线的垂线段，垂足分 别为M.N,若MF=4,NF=3,则 直线AB的斜率为(). A.1 R员 C.2 62 倒题精出 例卫已知椭圆 后+芳-1a>6>0)的一个顶点 为A(0,一3)，右焦点为F,且OA=OF,其中O为 国已知A,B分别为椭圆E:后+y=1>1) 原点. (1)求椭圆方程： 的左，右顶点，G为E的上顶点，AG·GB=8,P为直 (2)已知点C满足3OC=OF,点B在椭圆上(B 线x=6上的动点，PA与椭圆E的另一交点为C,PB 异于椭圆的顶点)，直线AB与以C为圆心的圆相切于 与椭圆E的另一交点为D. 点P,且P为线段AB的中点，求直线AB的方程. (1)求椭圆E的方程： (2)证明：直线CD过定点. 4 63 高中数学学与测缸专题复习 圆图设椭圆G:后+芳=1(a>6>0)的一个顶 柱倒剖折 点与抛物线C:x=4y的焦点重合，F1,F分别是椭 圆G的左，右焦点离心率=5过椭圆G右焦点日 如图，已知抛物线C:x= 4y的焦点为F,设点A(21,) 的直线1与椭圆C,交于A,B两点. (>1)为抛物线上一点，过点 (1)求椭圆C的方程. A作抛物线C的切线交其准 (2)是否存在直线1，使得0A.O店=-1？若存 线于点E, 在，求出直线（的方程：若不存在，请说明理由. (1)求点E的坐标（用1表示）： (3)设点M(1,0)是一个动点，若直线1的斜率存 (2)直线AF交抛物线C于点B(异于点A),直线 在，且N为AB的中点，MN⊥AB,求实数t的取值 EF交抛物线C于M,N两点（点N在E,F之间），连 范围. 结AM,BN,i记△FAM,△FBN的面积分别为S1,S:, 求受的最小值。 分析(1)可利用导数的几何意义求出切线斜 率，得切线方程后可求得点E的坐标： (2)将直线AF方程与抛物线方程联立求得点B 的坐标，同样将EF方程与抛物线方程联立解得点M, N的坐标：将受表示为：的西戴：装元后应用基本不等 式得最小值， 解（)对y=子求导得=弓，故y-=4 从而点A(21,)处的切线方程为y=tx一t, 由准线方程为y=一1，可得点E(一}-1小 (2)因为F(0,1),A(2t,产)，所以直线AF的方 程为y=园+1。 小-+1隔-2，山x-4=政 由 t x2=4y, () 又直线BF的方程为y=一马十1，载如· ke=一1，即AF⊥EF. 由 得+，%7-4=0，即 x2=4y 24-1D1=0. [+2出][-24] 数有= 2v=2u10 2(t十1) t-1 t十1 AF MF m·e母·尚 64 设t一1=m(m>0),则 是=·()=(m+品+3)≥2+3 =17+122. 当且仅当m=包，即1=2+1时，受取到藏小值 17+12V2. 说明本题考查直线与抛物线相交问题和导数的 几何意义，本题采用解析几何的最基本方法，求出直线 方程，再与抛物线方程联立方程组解得交点坐标，最后 计算面积比，求出最值， 心变式练习 已知抛物线E:x=2py(p>0)的焦点为F,圆M 的方程为x十y一py=0,若直线x=4与x轴交于点 R,与抛物线交于点Q,且QF=RQ. (1)求抛物线E和圆M的方程： (2)过焦点F的直线1与抛物线E交于A,B两 点，与圆M交于C.D两点(A,C在y轴同侧)，求证： AC·DB是定值， 65高中数学教学与测试专题复习（教师用书） 单元 4 立几与解几 177 所