单元4 专题17 柱、锥、台和球的切、接、截和折的问题-高中数学教学与测试·专题复习

专题17 柱、锥、台和球的切、接、截和折的问题 春点回顾 柱，雏、台、球的切、接，栽，折问题往往是高考中的难点，处理这类问题，一方面要求有较高的空间想象能 力，抓住结构特征找准几何关系：另一方面利用转化恩想，将不热悉的问题转化为热悉的问题求解，此类问题 通常包括三种英型：一是割补法的应用，通过几何体的分割或补形，进而发现不规则几何体和常见的柱，锥、 台之问的内在联系：二是与球有关的切、接问题，切的问题要找准切点，通过作戴面来解决，而接的问题则需 把握外接的特点，即球心到多面体的顶点的距离等于球的半径，可类比平面几何中圆的问题的处理方法加以 解决：三是折、展问题，解决此类问题的关键是抓住变化前后平面图形与立体图形的特征关系，弄清楚哪些几 何关系发生了变化，哪些没有发生变化，以及随着儿何关系的变化数量关系文有怎样的变与不变，其中未变 化的已知条件是我们分析问题和解决问题的重要依据.特别地，涉及几何体表面积与体积最值时，可考虑建 立目标函数，用函数的思想方法解决问题 3如图，在圆锥PO的轴截面 自主热身 PAB中，∠APB=60°，有一小球 O,内切于圆锥（球面与圆锥的侧面、 ①公园里设置了一些石凳供游 底面都相切).设小球O的体积为 客休息，这些石凳是经过正方体各棱 V,圆锥PO的体积为V,则V:V 的中点截去8个一样的四面体得到 的值为 的（如图所示）.设石凳的体积为V, 正方体的体积为V,则长的值是 中（多选题）如图，在矩形 ABCD中，M为BC的中点，将 △AMB沿直线AM翻折成△AB,M, 连结B,D,N为B:D的中点，则在 ☑已知正三棱柱ABC-A,BC的底面边长为3， 翻折过程中，下列说法正确的是 外接球的表面积为16x,则正三棱柱ABCA,B,C的 ( 体积为(). A.存在某个位置，使得CN⊥AB A.3y5B.3y5C.93 B.CN的长是定值 2 D. C.若AB=BM,则AM⊥B,D D.若AB=BM=1,当三棱锥B,-AMD的体积 最大时，三棱锥B:-AMD的外接球的表面积是4π 55 高中数学数学与侧缸专题复习 例图在三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC, 到题精出 PA=6,AB=23,AC=2,BC=4 (1)若三棱雏的四个顶点都在球O的表面上，求 例☐如图，ABCD是边长为3的正方形，DE⊥ 球O的半径： 平面ABCD,AF⊥平面ABCD,DE=3AF=3. (1)证明：平面ABF∥平 (2)若D是BC上的点且满足BD=BC,过点 面DCE: D作(1)中球O的截面，求截面面积的最小值. (2)求多面体ABF-DCE的 体积. 例☑已知点M,N分别为三棱柱ABCA:B,C 的棱BB,BC的中点，设△AMN的面积为S:,平面 A:MN截三棱柱ABC-A,B,C:所得截面面积为S,五 棱锥A,-CC,B,MN的体积为V,三棱柱ABC ABC的体积为V则的 S 56 样倒剖析 ∠FDM=吾，DF=6,从两d=FH-专DF= 在矩形ABCD中，AB=3,AD=2,E,F分别为线 又铝=号所以d=名4=3 4 段CDAB上的点，且-需-合·现将△ADE沿 由题意可得DB=而，载n0=品-3怎 20 AE翻折成四棱锥D-ABCE 故直线DB与平面DAE所成角的正弦值为3Y压 20 说明本例在折叠过程中考查了线面角和二面角 的何题，需要注意的是直接构造点B到面DAE的垂 线难度很大，我们从二面角的平面角出发，借助于点F (1)证明：AE⊥DF: 到面DAE的距离来间接求得点B到面DAE的距离， (2)若二面角D-AEB的大小为，试求直线 变式练习 DB与平面DAE所成角的正弦值. 分析本例属于典型的折叠问题，等要行细比对 如图，等边三角形ABC的边长为3，点D,E分别 平面图形与立体图形中的变与不变，例如，在平面图形 是边AB,AC上的点，满足AD=1,DE⊥AB.将 中四边形AFED为正方形，因此取AE的中点M,则 △ADE沿DE折起到△A:DE的位置，使二面角 有AE⊥DM,AE⊥MF,这样的几何特性在立体图形 A,-DEB为直二面角，连结AB,AC. 中保持不变，于是根据线面垂直的判定定理可证得 AEL面DMF,从而有AE⊥DF,对于第(2)题而言关 健是构造出二面角D-AEB的平面角，然后结合图形 计算出点B到平面DAE的距离（不一定作出垂线）， 这样就可以算出线面夹角的正弦值了， 解(1)由题意在矩形ABCD中AB=3,AD=2, (1)求二面角CABD的余弦值. 肝6需-名，所以四边形AFED (2)线段AE上是否存在点P,使得直线CP与 D 平面A,BC所成的角为60？若存在，求出A:P的长： 是边长为2的正方形， 若不存在，请说明理由. 连结DF,交AE于点M,则 AE⊥DF,且DM=MF=/2