单元4 专题16 立体几何中的计算问题-高中数学教学与测试·专题复习

专题16 立体几何中的计算问题 春点回顾 立体几何中不仅有定性分析（主要是平行与垂直的证明）问题，还有定量计算（主要是求角和距离）问题， 面对定量计算问题，一方面我们可以采用综合法，分析几何体的结构特征，求出表面积、体积，或者构造出点 到而的距离、异面直线夹角，线面夹角和二面角的平面角：另一方面也可使用向量法，通过空间向量的运算可 以判断立体几何中的线线、线面、面面之间的位置关系（主要是平行与垂直），可以利用直线的方向向量、平面 的法向量求异面直线所成的角，直线与平面所成的角以及两个平面所成的二面角，还可以求，点到平面的距 高.空间向量知识为我们提供了解决立体几何问题的新方法， 目已知六棱锥P-ABCDEF 自主热身 的底面是正六边形，PA⊥平面 ABC,PA=2AB.给出下列命题： 口在长方体ABCD A,BGD ①平面PAB⊥平面PAE: 中，BC=2,AB=BB,=4,E,F ②PB⊥LAD: 分别是A1B,CD的中点，则异面 直线AF与BE所成角的余弦值 ③直线CD与PF所成角的余弦值为气， 为(）. ①直线PD与平面ABC所成的角为45°： A. B.5 C.30 D. ⑤CD∥平面PAE. 则正确的命题是( ）. A.①④ B.①③④ C.@②③⑤ D.①②④⑤ 2在长方体ABCD-A,BCD D 已知A,B,C是球O的球面上三点，AB=2,AC= 中，AD=AA,=1,AB=2,点E 1,BC3,D为该球面上的动点，若三棱锥D-ABC体积 是棱AB的中点，则点E到平面 ACD,的距离为(). 的最大值为则球0的表面积为 c司 D.6 51 高中数学数学与侧缸专题复习 例包如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD 倒题精出 为直角梯形，且AD∥BC,∠ABC=∠PAD=90°，侧 例口在如图所示的几何体中，PB∥EC,PB 面PADL底面ABCD若PA=AB=BC=2AD, 2CE=2,PB⊥平面ABCD,在平行四边形ABCD中， (1)求证：CD⊥平面PAC AB=1.AD=2,∠BAD=60. (2)侧棱PA上是否存在点E,使得BE∥平面 (1)求证：AC∥平面PDE: PCD?若存在，指出点E的位置并证明：若不存在，请 (2)求CD与平面PDE所成角的正弦值. 说明理由. (3)求二面角APD-C的余弦值. 52 例3如图，菱形ABCD的对角线AC与BD交 于点O,点E,F分别在AD,CD上，AE=CF,EF交 柱倒剖折 BD于点H.将△DEF沿EF折到△DEF的位置， (1)证明：AC⊥HD: 如图，四边形ABCD是边长为 (2)若AB=5,AC=6,AE=号.0D=22,求五 1的正方形，MD⊥平面ABCD, NB⊥平面ABCD,且MD=NB= 棱锥D'-ABCFE的体积. 1,E为BC的中点. (1)求异面直线NE与AM所 成角的余弦值 (2)在线段AN上是否存在点S,使得ES⊥平面 AMN?若存在，求线段AS的长：若不存在，请说明 理由。 分析(1)求异面直线夹角，可考虑向量法或几 何法，比较两种解法的难易，不难想到建系后选用向量 法更为合适：(2)对于此类探索性问题，可先假设存在 点S,从而借助A5=入AV,A∈[0,1]求出点S的坐标， 便可以通过坐标运算进行代数判新， 解由题意，易得DM⊥ DA,DM⊥DC,DA⊥DC 以点D为坐标原点，以 DA,DC,DM所在直线分别为x 轴，y轴，*轴建立如图所示的空 何直角坐标系 (D因为NE=(-20,-1AM=(-1,0,1), 所以cos(NE,AM1= INE AM NE1·AM 巴我异雷直线NE与AM所皮角的余营整 为细 (2)假设在线段AN上存在点S,使得ES⊥平 面AMN, 因为AV=(0,1,1),故可设A5=AAN=(0,, A)a∈[0,1] 图为Ei=(分-1,0小，所以E$=EA+A= (侵A-1,A由ES⊥平面AMN,得 西.A=0,里一号+=0解得=司 即 E5.AN=0,”A-1+x=0, 53 高中数学教学与则试专题复习 此时A=(0,)-=号 所以当S为线段AN的中点时，ES⊥平面AMN, 光时A5-号 说明空问向量最适合于解决这类立体儿何中的 探素性何题，它不需要进行复杂的作图与论证，只需通 过坐标运算进行判断，解题时，把要成立的结论当作条 件，据此列方程或方程组，把是否存在问题转化为点的 坐标是否有解，或是否有规定范围内的解等问题，所以 为使问题的解决更简单、有效，应善干运用这一方法， 例如，本题第(2)题，假设在线段AN上存在点S,使得 ES⊥平面AMN,然后根据题设条件以及上迷假设求 得点S的坐标，即确定点S的位置，然后加以验证，由 此说明所求点的存在性， 变式练习 在三棱锥VABC中，VC⊥底面ABC,AC⊥