单元3 专题14 多变量的不等式问题-高中数学教学与测试·专题复习

专题14 多变量的不等式问题 春点回顾 多变量的不等式问题历来是高考的热，点与难，点，解决此类问题的关键是目标函数的选取以及最值的求 解.研究多变量的不等式问题，通常使用消元法、换元法、效形结合法和基本不等式等方法， 自主热身 倒题精讲 目若1ga十lgb=0且a≠b,则子+方的取值范围 例☐设实数a,b,c满足a+≤c≤1，则a十b十 c的最大值为 为(）. A.[2,2,十o) B.(2V2,+o∞) C.[22,3)U(3,+∞) D.(22,3)U(3,+o∞) ☑设a,b∈R,a2+2b=6,则a十v2b的最小值为 (). A.-25 -53 3 C.-3、3 D.1 2 3(多选题)已知a>0,b>0,且a+b=1,则下列 结论正确的是(). Aa+6≥号 B.>号 C.loga+logb>≥-2 D.a+B≤2 日已知a,b.c均为正数，且abc=4(a+b),则a+ b十c的最小值为 45 高中数学致学与侧缸专题复习 例☑若不等式ksin'B+sinAsinC.>l9 sinBsinC 对任意△ABC都成立，则实数的最小值为 柱倒剖折 设a>b>0,当号+。2取得最小值c时，函数 f(x)=|x一a|+|x-b+1x-c的最小值为(). A.3 B.2/2 C.5 D.42 分析根据基本不等式求最值c,并确定a,b的取 值，再根据绝对值的定义去掉绝对值，结合分段函数的 图象确定最小值 解因为6(a-60≤（g)=，所以号+ 2 十 b=a-b; 即a=2,b=1时取等号，此 时c=4, 7-3r,x≤1， 5-x,1<x≤2， 圆国设函数fx)=中，g(x)=专，对任意 又因为f(x)= 所以当x=2 x十1,2<x≤4， 3x-7,x>4, 国∈0，+)，不等式<骨恒成立，则正 时，f(x)取最小值3. 数k的取值范围是 说明在利用基本不等式求最值时，要特别注意 “拆，拼、凑”等技巧，要满足基本不等式中“正”（即条件 要求中字母为正数)、“定“（不等式的另一边必须为定 值)、“等”（等号取得的条件）的条件才能应用，否则会 出现错误 要式练习 已知正实数a,b.c满足a-ab+46-c=0,当品 取最小值时，a十b-c的最大值为() A.2 品是 c n 46单元 3 数列与不等式 高中数学教学与测试专题复习（教师用书） 128 由    2x＋5y＝20，5yx ＝2xy ， 解得  x＝10 10－203 ，y＝20－4 103 . ∴1x＋1y的最小值为7＋2 1020 ． 10.已知函数 ( ) ( 0, 0, 1, 1)x xf x a b a b a b      .设 12, 2 a b  . （1）求方程 ( ) 2f x  的根; （2）若对任意 x∈R,不等式 (2 ) f( ) 6f x m x  恒成立，求实数m 的最大值. 解 (1) xxxf ) 2 1(2)(  ，由 2)( xf 得 2 2 12  x x ，两边同乘以 2x，得 0122)2( 2  xx ，即 0)12( 2 x ，则 .0,12  xx （2）由 6)()2(  xmfxf 得， 6) 2 12( 2 12 2 2  x x x x m 恒成立， 令 x xt 2 12  ，则 22x+ = t2-2，且由 02 x 可得 2 2 122 2 12  x x x xt . 所以 622  mtt 恒成立，即 t t t t m 442    恒成立， 44242  t t t tt 时 ，当且仅当 2t 时，取等号. 因此m 的最大值为 4. 专题 14 多变量的不等式问题 【考点回顾】 多变量的不等式问题历来是高考的热点与难点，解决此类问题的关键是目标函数的选取以及最 值的求解．研究多变量的不等式问题，通常使用消元法、换元法、数形结合法和基本不等式等方法． 【自主热身】 1．若 0lglg  ba 且 ba  ，则 ba 12  的取值范围为（ A ） A． ),22[  B． ),22(  C． ),3()3,22[  D． ),3()3,22(  提示 ab=1, a＞0, b＞0, ba 12  =2b+a≥2√2 =2√2，当且仅当 a=2b=√2时取等号． 2．设 a ， Rb ， ，则 的最小值为（ A ） 2 22 6a b  2a b ≥ ≥ ≥ ≥ ≥ ≤ ≥ ≥ ≥ 高中数学教学与测试专题