4.3.1等比数列的概念（第1课时）教学设计-2022-2023学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册

第四章数列 《4.3.1等比数列的概念》教学设计 第1课时 · 教学目标 1.理解等比数列及等比中项的概念． 2.掌握等比数列的通项公式，能运用公式解决相关问题． · 教学重难点 · 教学重点：等比数列及等比中项的概念. 教学难点：等比数列的函数特征及综合运用. · 课前准备 PPT课件． · 教学过程 【新课导入】 问题1：阅读课本第27~31页，回答下列问题： （1）本节将要探究哪类问题？ （2）本节探究的起点是什么？目标是什么？ 师生活动：学生带着问题阅读课本，并在本节课中回答相应问题． 预设的答案：（1）本节课主要学习等比数列的概念及等比数列的通项公式．（2） 在已学习等差数列的基础上，引导学生类比学习等比数列，让学生经历定义的形成、通项公式的推导过程，体会数形结合的数学思想，体验从特殊到一般的研究方法，学会观察、归纳、反思，进一步培养学生灵活运用公式的能力．发展学生逻辑推理、直观想象、数学运算和数学建模的的核心素养． 设计意图：通过阅读读本，让学生明晰本阶段的学习目标，初步搭建学习内容的框架． 问题2：我们知道，等差数列的特征是“从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数” ．类比等差数列的研究思路和方法，从运算的角度出发，你觉得还有怎样的数列是值得研究的？ 师生活动：学生思考后回答，教师完善．并请学生观察下列数列： 1.两河流域发掘的古巴比伦时期的泥版上记录了下面的数列: 9，92，93，…，910 ① 100，1002，1003，…，10010 ② 5，52，53，…，510 ③ 2.《庄子·天下》中提到：“一尺之锤，日取其半，万世不竭.”如果把“一尺之锤”的长度看成单位“1”，那么从第1天开始，每天得到的“锤”的长度依次是 …④ 3.在营养和生存空间没有限制的情况下，某种细菌每20 min就通过分裂繁殖一代，那么一个这种细菌从第1次分裂开始，各次分裂产生的后代个数依次是 2,4,8,16,32,64,… ⑤ 4.某人存入银行a元，存期为5年，年利率为r，那么按照复利，他5年内每年末得到的本利和分别是a(1+r)，a(1+r)2，a(1+r)3，a(1+r)4，a(1+r)5 ⑥ 问题3：如果用 {an} 表示数列①，那么有． 其余几个数列也有这样的取值规律吗？你能说出这些数列的一般规律吗？ 师生活动：请学生试着写一写．教师与学生一起找规律． 设计意图：通过问题情境以及类比等差数列，引入等比数列的概念． 【探究新知】 知识点1等比数列的概念 1.等差数列的概念 文字语言 如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示 符号语言 an＋1－an＝d(d为常数，n∈N*),或an－an-1＝d(d为常数，n∈N*且n2) 类比等差数列的研究，我们可以通过运算发现以上数列的取值规律，进而得出等比数列的定义． 2.等比数列的概念 一般地，如果一个数列从第 2 项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示(显然q0)．符号语言：． 3．类比等差数列中等差中项的概念，我们可以得到等比数列中相应的等比中项． 由三个数a，G，b组成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项．此时，G2=ab． 设计意图：通过类比的方法，学习等比数列的定义和等比中项．发展学生数学抽象和数学建模的核心素养． 【练一练】下列数列为等比数列的是(　　) A．m，m2，m3，m4，… B．22,42,62,82，… C．q－1，(q－1)2，(q－1)3，(q－1)4，… D． 师生活动：学生根据等比数列的定义作出判断． 预设的答案：当m＝0，q＝1时，A，C均不是等比数列；， 所以B不是等比数列．故选D． 问题4：你能根据等比数列的定义推导它的通项公式吗？回忆等差数列通项公式的推导过程，类比猜想，等比数列如何推导通项公式？ 师生活动：学生分组讨论，派代表说说小组的想法．教师总结． 知识点2等比数列的通项公式 设一个等比数列{an}的公比为q,根据等比数列的定义，可得, 所以 …… 归纳可得 又，这就是说，当n=1时，上式也成立． 因此，首项为a1,公比为q的等比数列{an}的通项公式为． 设计意图：通过与等差数列中求通项方法相类比，同样用不完全归纳法获得等比数列的通项公式．提升学生逻辑推理、数学抽象和数学建模的核心素养． 追问：上述推导等比数列的通项公式采用了不完全归纳法，还有其它方法吗？如