4.4数学归纳法 第2课时教学设计-2022-2023学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册

第四章 数列 《4.4数学归纳法》教学设计 第2课时 · 教学目标 1．了解数学归纳法的原理，并能以递推思想作指导，理解数学归纳法的操作步骤，能用数学归纳法证明一些简单的数学命题． 2．通过数学归纳法的学习，体会从特殊到一般的思想方法． · 教学重难点 · 教学重点：能用数学归纳法证明一些简单的数学命题. 教学难点：经历试值、猜想、归纳、证明的过程来解决问题. · 课前准备 PPT课件． · 教学过程 【新课导入】 问题1：阅读课本第47~50页，回答下列问题： （1）本节将要探究哪类问题？ （2）本节探究的起点是什么？目标是什么？ 师生活动：学生带着问题阅读课本，并在本节课中回答相应问题． 预设的答案：（1）本节课主要学习数学归纳法．（2）前面学生已经学了数学归纳法．本节课在上节课的基础上继续学习数学归纳法，学习利用数学归纳法证明与正整数有关的命题．培养学生严谨的推理能力、训练学生的抽象思维能力、体验数学内在美．发展学生逻辑推理、直观想象、数学运算和数学建模的的核心素养． 问题2：什么叫数学归纳法？ 一般地，证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行：（1）（归纳奠基）证明当（）时命题成立；（2）（归纳递推）以“当n=k（，k≥）时命题成立”为条件，推出“当n=k+1时命题也成立”.只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从开始的所有正整数n都成立，这种证明方法称为数学归纳法.特别地，当时，命题就对从1开始的正整数成立，也就是对所有正整数都成立. 设计意图：通过复习数学归纳法的定义，温故知新，引入新课． 【探究新知】 知识点1利用数学归纳法证明与正整数有关的命题 首先，数学归纳法用来证明一个与正整数n有关的命题，证明的时候需要两个步骤：一是证明当时命题成立，它为后续的证明奠定了基础，故称之为归纳奠基；二是假设n=k时命题成立，证明n=k+1时也成立，也就是要证明一个递推关系，故称这一步为归纳递推.这两个步骤缺一不可，最终证明对所有正整数n，命题都成立. 设计意图：进一步理解数学归纳法的证题步骤．进一步说明可用数学归纳法证明关于正整数有关的命题．发展学生数学抽象、数学运算、数学建模的核心素养． 思考：用数学归纳法证明命题：． 下面的证明过程是否正确，若不正确，请说明理由并给出正确解法． 证明：（i）当时，左边，右边，命题成立． （ii）假设当时命题成立，即， 则当时， ，命题也成立． 根据（i）（ii）可以断定，对任何都成立． 师生活动：让学生根据数学归纳法的证题步骤来回答本题． 预设的答案：不正确．没有用上“归纳假设”，此法不是数学归纳法． 需要将“则当时，”后面改为如下过程： ，等式也成立． 说明：缺了第（ii）步，就没有了归纳递推的过程；在证明时命题也成立的过程中，一定要用到归纳假设，否则就不是数学归纳法了．强调：第（i）步成立是推理的基础，第（ii）步是推理的依据，结论使整个数学归纳法的过程顺利完成，所以“两个步骤和一个结论”缺一不可． 教师总结：用数学归纳法证明命题时，“两个步骤和一个结论”缺一不可.即递推基础不可少，归纳假设要用到，结论写明莫忘掉． 设计意图：通过该题，让学生进一步体会数学归纳法的证题步骤． 【巩固练习】 例1. 利用数学归纳法证明 对任意正整数n成立． 师生活动：让学生板演，让学生修改，教师点评完善． 预设的答案：证明：（1）当时，左边=右边，命题成立． （2）假设当时，命题成立，即． 当时，左边 右边 因此，若时命题成立，可推出时命题成立． 综合（1）（2）步，可知命题对任意正整数n成立． 设计意图：学生通过运用数学归纳法，模仿格式规范证明，检验数学归纳法步骤掌握情况，在证明过程中，培养严谨的数学推理能力． 例2 已知数列｛an}满足a1=0, 2an+1-anan+1=1(nN*),试猜想数列｛an}的通 项公式，并用数学归纳法加以证明． 师生活动：先将数列｛an}的递推关系2an+1-anan+1=1化为（nN*).让学生通过计算a2,a3,a4,a5的值，归纳共性并作出猜想，再应用数学归纳法证明猜想． 预设的答案：由2an+1-anan+1=1,可得(nN*). 由a1=0,可得, 同理可得 , , 归纳上述结果，猜想(nN*).① 下面用数学归纳法证明这个猜想． （1)当n=1时，①式左边＝a1=0,右边＝,猜想成立． （2)假设当n=k(k N*)时，①式成立，即, 那么, 即当n=k+1时，猜想也成立． 由（1)(2)可知，猜想对任何nN*都成立． 设计意图：通过该典型例题，让学生明白可以利用归纳、猜想、数学归纳法证明来探求一类数列的通项公式．发展学生数学抽象、数学运算、数学建模的核心素养． 例3 设x为正实数，n为大于1的正整数，若数列1, 1+x, (1+x)