4.4数学归纳法 第1课时教学设计-2022-2023学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册

第四章 数列 《4.4数学归纳法》教学设计 第1课时 · 教学目标 1.了解数学归纳法的原理和步骤，会用数学归纳法证明关于正整数n的数学命题. 2.借助具体实例，通过对证明一个数学命题的过程和多米诺骨牌全部倒下的过程的类比和分析，获得证明数学命题的方法，进而推广为数学归纳法的原理和步骤. 3.感受类比的数学思想方法，提升数学抽象素养. · 教学重难点 · 教学重点：用数学归纳法证明数学命题 教学难点：数学归纳法的原理. · 课前准备 PPT课件． · 教学过程 【新课导入】 问题1：阅读课本第44~47页，回答下列问题： （1）本节将要探究哪类问题？ （2）本节探究的起点是什么？目标是什么？ 师生活动：学生带着问题阅读课本，并在本节课中回答相应问题． 预设的答案：（1）本节课主要学习数学归纳法．（2）前面学生已经通过数列一章内容和其它相关内容的学习，初步掌握了由有限多个特殊事例得出一般结论的推理方法，即不完全归纳法．但由于有限多个特殊事例得出的结论不一定正确，这种推理方法不能作为一种论证方法．因此，在不完全归纳法的基础上，必须进一步学习严谨的科学的论证方法——数学归纳法．数学归纳法亮点就在于，通过有限个步骤的推理，证明n取无限多个正整数的情形，这也是无限与有限辨证统一的体现．并且，本节内容是培养学生严谨的推理能力、训练学生的抽象思维能力、体验数学内在美的很好的素材．发展学生逻辑推理、直观想象、数学运算和数学建模的核心素养． 设计意图：通过阅读读本，让学生明晰本阶段的学习目标，初步搭建学习内容的框架． 问题2： 在数列的学习过程中，我们已经用归纳的方法得出了一些结论，例如等差数列{an}的通项公式an=a1+(n-1) d等，但并没有给出严格的数学证明，那么，对于这类与正整数n有关的问题，我们怎样证明它对每一个正整数n都成立呢？ 师生活动：教师呈现问题情境，引发学生思考. 问题3：已知数列满足，，计算，猜想其通项公式，并证明你的猜想. 师生活动：学生思考发现：已知反映相邻两项关系的递推公式，又已知首项，那么就可以求出该数列的每一项.教师完善． 预设的答案：令n=1，就有，把代入，可得.同理，令n=2，就有，把代入，可得.把代入，可得也等于1.看上去这个数列的每一项都是1，由此猜想，该数列的通项公式就是. 问题4：该如何证明这个猜想呢？ 师生活动：有学生认为：从n=5开始一个个往下验证呗！教师完善． 预设的答案：一般来说，与正整数n有关的命题，当n比较小时可以逐个验证.但当n较大时，验证起来会很麻烦.尤其是我们这里要证明n取所有正整数都成立，这是一个无限的问题，逐一验证是不可能的，我们无法用常规方法严格证明.因此，我们很有必要寻求一种新的方法，这种方法能让我们通过有限个步骤的推理，证明n取所有正整数时命题都成立. 问题5：能使所有多米诺骨牌全部倒下的条件是什么？ 师生活动：先让学生看一个小游戏：多米诺骨牌．2011年12月31日晚，中国小伙子刘杨成功以321197枚多米诺骨牌的成绩，刷新了多米诺骨牌个人吉尼斯世界纪录．随着一段简短的视频，我们一起感受一下当时壮观的场面． 预设的答案：通过对视频的观察，归纳使所有骨牌都能倒下的条件有两个：（1）第一块骨牌倒下，（2）任意相邻的两块骨牌，前一块倒下一定能导致后一块倒下. 设计意图：利用视频引出多米诺骨牌游戏，激发学生学习兴趣．同时，利用中国人创造吉尼斯纪录视频，激发学生爱国情怀．反思游戏过程，让学生亲身经历多米诺骨牌原理的提炼过程，培养学生抽象思维和概括能力；利用问题，逐步推进对思想方法的理解． 追问1：条件（1）的作用是什么？ 师生活动：教师与学生一起探讨． 预设的答案：如果第一块骨牌不倒，那么后面的骨牌自然也不会倒.所以第一块骨牌倒下，给所有骨牌倒下提供了基础，这个条件必不可少. 追问2：条件（2）的作用是什么？ 师生活动：教师与学生一起探讨． 预设的答案：若骨牌间距过大，导致前一块骨牌无法推倒后一块骨牌，那就不能使所有骨牌都倒下.可以看出，条件（2）实际上是给出了一个递推关系：第k块骨牌倒下，能推出第k+1块骨牌倒下.假设有无限多块骨牌，我们可以想象前一块推倒后一块的动作将永远进行下去.也就是说，无论有多少块骨牌，只要保证这两个条件都成立，那么所有骨牌一定可以全部倒下.这就是骨牌原理. 追问3：证明猜想“数列的通项公式是”与多米诺骨牌游戏有相似性吗？你能类比多米诺骨牌游戏解决这个问题吗？ 师生活动：教师引导学生回顾猜想该数列通项公式是的过程： 学生发现这个过程蕴含着一个与多米诺骨牌游戏的条件（2）类似的递推结构：以成立为条件，推出也成立.它相当于命题：当n=k时猜想成立，则n=k+1时猜想也成立.学生在教师引导下发现只要能证明这个命题，就可以在的条件下，由这