北京市海淀区北京一零一中2022-2023学年高二下学期期中考试数学试题

北京一零一中2022-2023学年度第二学期期中考试 高二数学 （本试卷满分120分，考试时间100分钟） 命题：高二数学备课组 审稿：贺丽珍 一､选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 1.已知数列为等差数列，若，，则公差d等于（ ） A.3 B. C.2 D. 2.已知等比数列的公比为q，前n项和为.若，，则（ ） A.1 B.2 C.3 D.4 3.已知函数，则函数的最小值为（ ） A. B.1 C. D.e 4.函数的单调递减区间是（ ） A. B. C. D. 5.函数的零点个数为（ ） A.0 B.1 C.2 D.3 6.设曲线在点处的切线与直线垂直，则（ ） A.2 B. C. D. 7.如图，一个正五角星薄片（其对称轴与水面垂直）匀速地升出水面，记t时刻五角星露出水面部分的图形面积为，，则导函数的图象大致为（ ） A. B. C.D. 8.设等比数列的前n项和为，则“”是“”的（ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 9.已知函数，当时，下列关系正确的是（ ） A. B. C. D. 10.对任意，若递增数列中不大于的项的个数恰为m，且，则n的最小值为（ ） A.10 B.9 C.8 D.7 二､填空题共6小题，每小题5分，共30分. 11.已知函数，则________. 12.已知数列的前n项和为，若，则________. 13.用铁皮围成一个容积为的无盖正四棱柱形水箱.需用铁皮的面积至少为________.（注：铁皮厚度不计，接缝处损耗不计） 14.已知函数在区间的极小值也是最小值，则n的取值范围是________. 15.已知数列的通项公式为，记数列的前n项和为，若对任意的，恒成立，则实数k的取值范围是________. 16.已知数列满足，，给出下列四个结论： ①数列的前n项和； ②数列的每一项都满足； ③数列的每一项都满足； ④存在，使得成立. 其中，所有正确结论的序号是________. 三､解答题共4小题，共50分.解答应写出文字说明､演算步骤或证明过程. 17.（本小题10分） 已知数列的前n项和为，且满足，. （1）若，，成等比数列，求m的值； （2）设，求数列的前n项和. 18.（本小题12分） 已知函数，其中. （1）当时，求函数的极小值； （2）求函数的单调区间； （3）证明：当时，函数有且仅有一个零点. 19.（本小题14分） 已知函数，. （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）若函数在上存在单调递减区间，求a的取值范围； （3）若函数的最小值为，求a的值. 20.（本小题14分）在无穷数列中，，对于任意，都有，.设，记使得成立的n的最大值为. （1）设数列为，写出，，，的值； （2）若为等差数列，求出所有可能的数列； （3）设，，求的值.（用p，q，A表示） 北京一零一中2022-2023学年度第二学期期中考试高二数学 参考答案 一､选择题（每题4分，共10题，共40分） 1.C 2.B 3.B 4.C 5.B 6.D 7.A 8.C 9.A 10.A 二､填空题（每题5分，共6题，共30分） 11. 12.5 13.12 14. 15. 16.②③.（0分，3分，5分） 三､解答题（共4题，共50分） 17.（共10分） （1）（5分）因为， 所以数列是公差为2的等差数列，设公差为，则. 又因为，所以，得. 所以. 又因为成等比数列，所以， 即，得. （2）（5分）因为， 所以 18.（共12分） （1）（3分）当时，. ，令，得或. 所以在上单调递增，在上单调递减， 在上单调递增. 所以极小值为. （2）（4分），其中， 令，得或. 当时，恒成立， 所以的单调递增区间为，无单调递减区间. 当时，令得或， 令得， 所以，的单调递增区间为，单调递减区间为. 当时，令得或， 令得 所以，单调递增区间为在，单调递减区间为. （3）当时，在上单调递增，在上单调递减， 在上单调递增. 所以极大值为. 由于，所以，所以，所以， 所以对任意的，所以在上无零点. 因为. 所以存在唯一，使得. 综上，当时，函数有且仅有一个零点. 19.（共14分） （1）（3分）由题意可知. 因为，则， 所以函数在点处的切线方程为. 即. （2）（3分）因为函数在上存在单调递减区间， 所以当时，存在性成立. 即