精品解析：上海市复旦大学附属中学2022-2023学年高一下学期期中数学试题

2022-2023学年上海市复旦附中高一年级下学期 期中考试数学试卷 一、填空题（本大题共有12小题，满分54分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，1-6题每个空格填对得4分，7-12题每个空格填对得5分，否则一律得0分. 1. 已知，，则_________. 2. 已知i为虚数单位，若复数是实数，则实数m的值为__________. 3. 向量在向量方向上的投影为___________. 4. 在△ABC中，若，，，则___________. 5. 已知复数z满足（i为虚数单位），则_________. 6. 方程在区间上的所有解的和为__________. 7. 设，，且，则_______. 8. 在△ABC中，边a，b，c满足，，则边c的最小值为__________. 9. 在直角三角形中，，，，点是外接圆上的任意一点，则的最大值是___________. 10. 在锐角三角形ABC中，，，点O为△ABC的外心，则的取值范围为__________. 11. 如图所示，在直角梯形ABCD中，已知，，，，M为BD的中点，设P、Q分别为线段AB、CD上的动点，若P、M、Q三点共线，则的最大值为__. 12. 设函数，若恰有个零点，. 则下述结论中: ①若恒成立，则的值有且仅有个； ②在上单调递增； ③存和，使得对任意恒成立； ④“”是“方程在恰有五个解”的必要条件. 所有正确结论的编号是______________； 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分）每题有且只有一个正确选项.考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑. 13. 已知，则“为纯虚数”是“”的（ ） A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 既非充分也非必要条件 14. 已知顶点在原点的锐角，始边在x轴的非负半轴，始终绕原点逆时针转过后交单位圆于，则的值为（ ） A. B. C. D. 15. 某港口某天0时至24时的水深（米）随时间（时）变化曲线近似满足如下函数模型（）.若该港口在该天0时至24时内，有且只有3个时刻水深为3米，则该港口该天水最深的时刻不可能为（ ） A. 16时 B. 17时 C. 18时 D. 19时 16. 设是垂心，且，则的值为（ ） A. B. C. D. 三、解答题（本大题满分78分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤 17. 已知关于x的实系数一元二次方程. （1）若复数z是该方程的一个虚根，且，求m的值； （2）记方程的两根为和，若，求m的值. 18. 已知向量，，函数. （1）求函数的严格减区间与对称轴方程； （2）若，关于x方程恰有三个不同的实数根，，求实数的取值范围及的值. 19. 近年来,为“加大城市公园绿地建设力度,形成布局合理的公园体系”,许多城市陆续建起众多“口袋公园”、现计划在一块边长为200米的正方形的空地上按以下要求建造“口袋公园”、如图所示,以中点A为圆心,为半径的扇形草坪区,点在弧BC上（不与端点重合）,AB、弧BC、CA、PQ、PR、RQ为步行道,其中PQ与AB垂直,PR与AC垂直.设. （1）如果点P位于弧BC的中点,求三条步行道PQ、PR、RQ的总长度; （2）“地摊经济”对于“拉动灵活就业、增加多源收入、便利居民生活”等都有积极作用.为此街道允许在步行道PQ、PR、RQ开辟临时摊点,积极推进“地摊经济”发展,预计每年能产生的经济效益分别为每米5万元、5万元及5.9万元.则这三条步行道每年能产生的经济总效益最高为多少?（精确到1万元） 20. 在平面直角坐标系中，，设点，是线段AB的n等分点，其中，. （1）当时，使用，表示，； （2）当时，求值； （3）当时，求（，，i，）的最小值. 21. 对于函数，，如果存在一组常数，，…，（其中k为正整数，且）使得当x取任意值时，有则称函数为“k级周天函数”. （1）判断下列函数是否是“2级周天函数”，并说明理由：①；②； （2）求证：当时，“3级周天函数”； （3）设函数，其中b，c，d是不全为0的实数且存在，使得，证明：存在，使得. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2022-2023学年上海市复旦附中高一年级下学期 期中考试数学试卷 一、填空题（本大题共有12小题，满分54分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，1-6题每个空格填对得4分，7-12题每个空格填对得5分，否则一律得0分. 1. 已知，，则_________. 【答案】 【解析】 【分析】利用诱导公式与平方和关系求解即可. 【详解】因为，所以，所以 故答案为： 2. 已知i