8.6.2直线与平面垂直（第2课时）-【高效课堂】2022-2023学年高一数学同步精讲课件（人教A版2019必修第二册）

§8.6.2 直线与平面垂直(2) §8.6 空间直线、平面的垂直 高中数学人教A版必修第二册 第八章 立体几何初步 线面垂直的性质定理 线面、面面的距离 典型例题分析 小结及随堂练习 1 2 3 4 目录 温故知新 通过上节课的学习，我们知道了如何定义与判定直线与平面垂直，但若是已知线面垂直，它们又具有什么性质呢？ 直线与平面垂直的性质定理 01 PART 情境引入 观察下列图片，你能发现什么线、面关系的规律吗？ 是否对研究线面垂直的性质有帮助？. 问题1：如何研究直线与平面垂直的性质？从哪些角度考虑？ 类比线面平行，面面平行的性质研究， ——先研究已有的线线关系，然后再加新的直线、平面探究. 根据已有经验，我们可以探究直线与平面内的直线的关系．但由定义， 与内的所有直线都垂直．所以，可以探究，与其他直线或平面的关系 探究新知 观察① 如右图，在长方体中,棱所在直线都垂直于平面，它们之间具有什么位置关系? 观察② 如右图，已知直线和平面 . 如果，那么直线一定平行吗? 我们知道，在平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行． 在空间中是否有类似的性质呢 可以发现，这些直线相互平行 推理论证 已知： 求证： // 猜想：垂直与同一个平面的两条直线平行， 假设与不平行， 记直线与的交点为，则可过作 直线与确定平面，设 （交线） ， 又， 这样在平面内过点有两条直线和都垂直于直线，这不可能！ // 学习新知 图形语言 理解意义 1.可用来判断两直线平行的依据 2.揭示了 “平行”与 “垂直”之间的内在联系． 符号语言 垂直于同一个平面的两条直线平行 线面垂直的性质定理 线面垂直线线平行 应用新知 例1.已知：如图，直线l平行于平面. 求证：直线上各点到平面的距离相等 证明：过直线上任意两点, 分别作平面的垂线 垂足分别为, 设直线确定的平面为，. ∴四边形是矩形， ∴ ∵是直线上任意两点， ∴直线上各点到平面的距离相等. 补充性质 问题2：能否将性质定理中的平面换成直线，或者将垂直关系变为平行关系， 得出一些新的结论吗？ 则直线与平面有怎样的位置关系？ 则． 则直线与平面有怎样的位置关系？ ①若，，则直线与平面有怎样的位置关系？ ②若，， ③若，， 或． 则或． 补充性质 1. 若，则与面内的所有直线都垂直. (若，则) 2. 两条平行直线垂直于同一个平面. (若，则) 3. 若，则平面外与垂直的直线. (若，则) 4. 垂直于同一条直线的两个平面平行. 5. 垂直于同一个平面的两条直线平行. (若，则) 线面、面面的距离 02 PART 学习新知 直线到平面的距离 平行平面间的距离 一条直线与一个平面平行时，这条直线上任意一点到这个平面的距离，叫做这条直线到这个平面的距离. 点到平面的距离 过一点作垂直于已知平面的直线，则该点与垂足间的线段，叫做这个点到该平面的垂线段，垂线段的长度叫做这个点到该平面的距离 如果两个平面平行，那么其中一个平面内的任意一点到另一个平面的距离都相等，我们把它叫做这两个平行平面间的距离。 应用新知 例2.推导棱台的体积公式（棱台的高就是两底面间的距离） 分析：如图，延长棱台各侧棱交于点 ，得到截得棱台的棱锥.过点作棱台的下底面的垂线，分别与棱台的上、下底面交于点，，则垂直于棱台的上底面(想一想，为什么？)，从而. A D B C A′ B′ C′ D′ O O′ P (其中, , 分别是棱台的上下底面积和高) 应用新知 由于棱台是由棱锥截成的， 因此可以利用两个棱锥的体积差，得到棱台的体积公式； 设棱台的高为，棱锥的高为 ① 又因为大棱锥与小棱锥相似，则其对应边成比例， 即， ② 将②代入①得， 证明： 典型例题分析 03 PART 应用新知 题型一：线面垂直性质定理的应用(逻辑推理) 例3.如图,在正方体中,是上一点,是的中点,平面. 求证:∥. 解：因为在正方体中,四边形为正方形, 所以. 又因为平面,⊂平面 所以 因为平面平面 所以平面 又因为平面, 所以∥ 应用新知 题型一：线面垂直性质定理的应用(逻辑推理) 在证明与