3.3 垂径定理-　-教案　　2022—2023学年北师大版数学九年级下册

垂径定理教案 江西省吉安市吉安县官田中学 刘崇治 教学目标： 1、知识目标：通过实验观察，让学生理解圆的轴对称性； 掌握垂径定理，理解其探索和证明过程； 能初步运用垂径定理解决有关的计算和证明问题。 2、能力目标：在研究过程中，进一步体验“实验—归纳—猜想—证明”的方法；在解题过程中，注重发散思维的培养，同一个问题会从不同的角度去分析解决。 3、情感目标：通过圆的对称性，培养学生对数学的审美观，并激发学生对数学的热爱。 教学重点：使学生掌握垂径定理、记住垂径定理的题设和结论。 教学难点：对垂径定理的探索和证明，在解决问题时想到用垂径定理。 教学用具：圆规，三角尺，PPT课件 教学过程： 一、复习引入 1、我们已经学习了圆怎样的对称性质？（中心对称） 2、实验：探究圆的轴对称性。如图（1），若将⊙O沿直径AB 对折，观察两部分是否重合？让学生用自己准备好的圆形纸片 亲自实验，教师引导学生努力发现： ( （1） )圆是轴对称图形，过圆心的任意一条直线（或直径所在的直线） 都是它的对称轴。 ( （2） )3、引入新知：如图（2），左图中AB是⊙O的弦，直径CD与弦AB相交，那么沿直径CD所在的直线折叠之后，图形可以重合吗？右图中，AB是⊙O的弦，直径CD⊥AB,垂足为E。此时再沿直径CD所在直线折叠，图形可以重合吗？（重合，说明此图也是轴对称图形，称这种处于特殊位置的直径称为垂直于弦的直径），引出本节课研究的内容。 ( （2） ) 二、新课 （一）猜想，证明，形成垂径定理 1、提问：继续观察图（2）的右图，根据圆的对称性，把圆沿直径CD所在的直线折叠之后，圆中的线段和弧会出现怎样的位置关系？同时出现怎样的数量关系？ 2、猜想：可能出现的位置关系是： 线段AE和线段BE重合，弧AC和弧BC重合，弧AD和弧BD重合。 可能出现的数量关系是： 3、证明： 利用等腰三角形三线合一的性质或者三角形全等的知识来证明线段AE与线段BD相等，利用圆的对称性证明对应弧相等。板书： 4、引导学生归纳总结垂径定理的文字表述，板书： 垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。 （二）分析垂径定理的条件和结论 1、再次明确垂径定理的条件和结论加深学生的印象。 2、利用反例、变式图形对定理进一步引申，揭示定理的本质属性，以加深学生对定理本质的了解。 练习：在下列图形中，能使用垂径定理的图形有哪些？ 3、引申定理：定理中垂直于弦的直径可以是直径、半径，也可以是过圆心的直线或线段。 （三）例题 例1 已知：如图（3），在⊙O中，弦AB的长为8cm， 圆心O到AB的距离为3cm。 求：⊙O的半径。 变式（1）：如图（3），在⊙O中，圆心O到弦AB的距离 ( （3） )为3cm，⊙O的半径为5cm。 求：弦AB的长为多少？ 总结：在圆有关的问题时，常常构造直角三角形，利用垂径定理和勾股定理相结合的方法来解决。 例2 已知：如图（4），在以O为圆心的两个同心圆中， 大圆的弦AB交小圆于C、D两点. 求证:AC=BD. （思路：垂径定理，全等三角形，等腰三角形） ( （4） ) ( （5） )变式（2）：再添一个同心圆，如图（5），则 AC BD。 变式（3）：隐去图（4）中的大圆，得图（6），连接 OA，OB，设OA=OB， 求证：AC＝BD。 ( （6） ) 变式（4）：隐去图（4）中的小圆，得图（7），连接 OC，OD，设OC=OD， 求证：AC＝BD。 ( （7） ) 总结：在解与圆有关的证明题中，常做的辅助线是过圆心做弦的垂 线段。遇到题目有一题多解的情况时，鼓励学生善于用最简单的方法解决，同时提醒学生注意解题的方法的归纳总结，做到举一反三，触类旁通。 三、小结 1、这节课我们学习了哪些主要内容？ 2、应用垂径定理要注意那些问题？ 垂径定理的条件和结论： ① 经过圆心 得到 ① 平分弦 一条直线具有： ② 平分弦所对的劣弧 ② 垂直于弦 ③ 平分弦所对的优弧 3、思考：若将条件中的②与结论中的①互换，命题成立吗？ 四、作业 1、整理垂径定理的证明过程。 2、变式（1）到变式（4）整理解题过程。 学科网（北京）股份有限公司 $