精品解析：上海市上海中学2022-2023学年高一下学期期中考试数学试卷

上海中学2023学年第二学期高一年级数学期中 2023.04 一、填空题（每小题3分，共36分） 1. 一个扇形的面积为1，周长为4，则该扇形圆心角的弧度数为______． 2. 角的终边经过点，且，则______． 3. 若，则______． 4. 已知，则________________． 5. 函数 最小正周期是________ 6. 在△中，角、、对边分别为、、，其面积，则________ 7. 已知函数的周期为，当时，函数恰有两个不同的零点，则实数的取值范围是__________. 8. 若函数在上的最小值是，但最大值不是，则的取值范围是________. 9. 张老师整理旧资料时发现一题部分字迹模糊不清，只能看到：在中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，已知，，求边c，显然缺少条件，若他打算补充a的大小，并使得c只有一解，a的可能取值是______只需填写一个适合的答案 10. 定义：关于的两个不等式和的解集分别为和，则称这两个不等式为对偶不等式．如果不等式与不等式为对偶不等式，且______． 11. 设，若不等式对一切恒成立，则实数的取值范围是______． 12. 若不等式对任意都成立，则实数的最小值为______． 二、选择题（每小题4分，共16分） 13. 将函数图象上的点向左平移（） 个单位长度得到点，若位于函数的图象上，则（ ） A. ，的最小值为 B. ，的最小值为 C. ，的最小值为 D. ，的最小值为 14. 我们学过用角度制与弧度制度量角，最近，有学者提出用“面度制”度量角，因为在半径不同的同心圆中，同样的圆心角所对扇形的面积与半径平方之比是常数，从而称这个常数为该角的面度数，这种用面度作为单位来度量角的单位制，叫做面度制在面度制下，角的面度数为，则（ ） A. B. C. D. 15. 将函数的图像向下平移1个单位，得到的图像，若，其中，则的最大值为（ ）． A. 9 B. C. 3 D. 11 16. 设函数，若实数使得对任意实数恒成立，则的值等于 A. B. C. D. 三、解答题（本大题共5题，各题分值依次为8、8、8、12、12分，共48分） 17. 函数（，）在一个周期内的图像经过，，三点，求的表达式. 18. 在中，角所对的边分别为，已知，. （1）求的值； （2）若，求外接圆的面积. 19. 设为常数，函数（）． （1）设，求函数单调区间及周期； （2）若函数为偶函数，求此函数的值域． 20. 已知、两地相距，以为直径作一个半圆，在半圆上取一点，连接、，在三角形内种草（如图），、分别为弧、弧的中点，在三角形、三角形上种花，其余是空地．设花坛的面积为，草坪的面积为，取． （1）用及表示和； （2）求的最小值． 21. 对于函数（），若存在非零常数，使得对任意的，都有成立，我们称函数为“函数”，若对任意的，都有成立，则称函数为“严格函数”． （1）求证：，“函数”； （2）若函数是“函数”，求的取值范围； （3）对于定义域为函数，．函数是奇函数，且对任意的正实数，均是“严格函数”．若，，求的值 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 上海中学2023学年第二学期高一年级数学期中 2023.04 一、填空题（每小题3分，共36分） 1. 一个扇形的面积为1，周长为4，则该扇形圆心角的弧度数为______． 【答案】 【解析】 【分析】设扇形的半径为R，弧长为l，圆心角为，根据题意，由，求解. 【详解】设扇形的半径为R，弧长为l，圆心角为， 则．① 由扇形面积公式，得．② 由①②得，， ∴． ∴扇形的圆心角为． 故答案为： 2. 角的终边经过点，且，则______． 【答案】 【解析】 【分析】由题意利用任意角的三角函数的定义，求得的值． 【详解】解：角的终边经过点，且， ，则， 故答案为． 【点睛】本题主要考查任意角的三角函数的定义，属于基础题． 3. 若，则______． 【答案】 【解析】 【分析】利用正余倍角公式，将转化成齐次式即可求出结果. 【详解】因为，又，所以. 故答案为：. 4. 已知，则________________． 【答案】 【解析】 【分析】根据同角关系式，诱导公式及两角差的正弦公式即得. 【详解】 ， ， 所以 ， 则. 故答案为： . 5. 函数 的最小正周期是________ 【答案】 【解析】 【分析】利用同角三角函数的基本关系，二倍角公式可得函数，根据最小正周期等于求出结果. 详解】函数， 函数的最小正周期为 故答案为：. 6. 在△中，角、、的对边分别为、、，其面积，则________ 【答案】 【解析】 【分析】根据面积公式得到,根据余弦定理得到,对等式进行整理,即可得到的值 【详解】由