14.4.1用样本估计总体的集中趋势参数-【题型·技巧培优系列】2022-2023年高一数学同步精讲精练（苏教版2019必修第二册）

14.4.1用样本估计总体的集中趋势参数 题型1平均数的计算 3 题型2平均数求参 5 题型3众数中位数的计算 5 题型4众数、中位数、平均数的比较 9 题型5中位数、平均数的实际应用 12 知识点一.平均数 1.总体的均值：一般地，我们把总体中所有数据的_算术平均数_称为总体的均值.通常可以代表总体水平．在进行统计分析时，经常用_样本平均数_估计总体均值. 2.平均数的定义∶如果给定的一组数是x1，x2，…，xn，则这组数的平均数为。 3.平均数的特征∶平均数用来刻画一组数据的平均水平（或中心位置）。 4. 平均数的表示∶,其中的符号""表示求和，读作“西格玛”，“ ”右边式子中的i表示求和的范围，其最小值与最大值分别写在“ ”的下面与上面。 5.性质：如果x1，x2，…，xn，的平均数为 ，且a，b为常数，则ax1+b，ax2+b，…，axn+b的平均数为a+b. 6.平均数的估计：一般地，若取值为x1，x2，…，xn，的频率分别为p1，p2，…，pn，则其平均数为 注意：平均数会受每一个数的影响，尤其是最大值、最小值．很多情况下，为了避免过于极端的值对结果影响太大等，会去掉最小值与最大值后再计算平均数. 知识点二.中位数 定义：如果一组数有奇数个数，且按照从小到大排列后为x1，x2，…，xn，则称xn+1为这组数的中位数；如果一组数有偶数个数，且按照从小到大排列后为x1，x2，…，x2n，则称为这组数的中位数. 优点∶ ①不受少数几个极端数据的影响。 ②易计算，便于利用中间数据的信息。 缺点：对极端值不敏感。 知识点三.频数与众数： 1. 频数的概念∶一组数据中，某个数据出现的次数称为这个数据的频数。 2.众数的概念∶一组数据中，出现次数最多的数据称为这组数据的众数。 注意：若有两个或两个以上的数据出现得最多，且出现的次数一样，则这些数据都称为众数；若一组数据中每个数据出现的次数一样多，则没有众数。 注意：(1)众数不唯一，可以有一个，也可以有多个，还可以没有.如果有两个数据出现的次数 相同，并且比其他数据出现的次数都多，那么这两个数据都是这组数据的众数. (2)众数一定是原数据中的数，中位数不一定是原数据中的数. 知识点四.众数、中位数和平均数的比较 名称 优点 缺点 众数 ①体现了样本数据的最大集中点；②容易计算 ①它只能表达样本数据中很少的一部分信息；②无法客观地反映总体的特征 中位数 ①不受少数几个极端数据（即排序靠前或靠后的数据）的影响；②容易计算，便于利用中间数据的信息 对极端值不敏感 平均数 代表性较好，是反映数据集中趋势的量.一般情况下，可以反映出更多的关于样本数据全体的信息 任何一个数据的改变都会引起平均数的改变，数据越"离群"，对平均数的影响越大 题型1平均数的计算 【方法总结】平均数与每一个样本数据都有关，受个别极端数据（比其他数据大很多或小很多的数据）的影响较大，因此若在数据中存在少量极端数据，平均数对总体估计的可靠性较差，这时往往用众数或中位数去估计总体，有时也采用剔除最大值与最小值后所得的平均数去估计总体. 【例题1】（2023·全国·高一专题练习）某校高二有重点班学生400人，普通班学生800人，为调查总体学生数学成绩的平均值，按比例分配进行分层随机抽样，从重点班抽出20人，从普通班抽出40人，通过计算重点班平均成绩为125分，普通班平均成绩为95分，则高二总体数学成绩平均值为（    ） A．110 B．125 C．95 D．105 【变式1-1】1．（2022·河南焦作·）某射箭运动员在一次射箭训练中射靶10次，命中环数如下：8，9，8，10，6，7，9，10，8，5，则命中环数的平均数为___________. 【变式1-1】2．（2023·全国·高一专题练习）高一和高二两个年级的同学参加了数学竞赛，高一年级有450人，高二年级有350人，通过按比例分配分层随机抽样的方法抽取了160个样本，得到两个年级的竞赛成绩的平均分分别为80分和90分，则 （1）高一、高二抽取的样本量分别为________； （2）高一和高二数学竞赛的平均分约为________． 【变式1-1】3.（2022·全国·高一课时练习）一组5个数据中，前4个数据的平均数是20，全部5个数据的平均数是19，则第5个数据是______． 【变式1-1】4．（2023·全国·高一专题练习）箱子中共有40个网球（质量不完全相同），其平均质量为M，如果把M当成一个网球的质量，与原来的40个网球一起，算出这41个网球的平均质量为N，那么为（　　） A． B．1 C． D．2 【变式1-1】5．（2021秋·高一课时练习）某单位共有、、三个部门，三部门人员平均年龄分别为岁、岁、岁，又已知和两部门人员