回归教材重难点08 圆的综合题-【查漏补缺】2023年中考数学三轮冲刺过关

回归教材重难点08 圆的综合问题 本考点是中考五星高频考点，难度较大，在全国各地市的中考试卷中均有考查。 （2022年广西柳州市中考数学试卷第25题）如图，已知AB是⊙O的直径，点E是⊙O上异于A，B的点，点F是的中点，连接AE，AF，BF，过点F作FC⊥AE交AE的延长线于点C，交AB的延长线于点D，∠ADC的平分线DG交AF于点G，交FB于点H． （1）求证：CD是⊙O的切线； （2）求sin∠FHG的值； （3）若GH＝4，HB＝2，求⊙O的直径． 【分析】（1）连接OF，证明OF⊥CD即可； （2）证明∠FGH＝∠FHG＝45°，可得结论； （3）过点H作HM⊥DF于点M，HN⊥AD于点N．则HM＝HN，可得＝＝＝＝2设DB＝k，DF＝2k，证明△DFB∽△DAF，推出DF2＝DB•DA，可得AD＝4k，由GD平分∠ADF，同法可得＝＝，推出AG＝8，再利用勾股定理求解即可． 【解答】（1）证明：连接OF． ∵OA＝OF， ∴∠OAF＝∠OFA， ∵＝， ∴∠CAF＝∠FAB， ∴∠CAF＝∠AFO， ∴OF∥AC， ∵AC⊥CD， ∴OF⊥CD， ∵OF是半径， ∴CD是⊙O的切线． （2）解：∵AB是直径， ∴∠AFB＝90°， ∵OF⊥CD， ∴∠OFD＝∠AFB＝90°， ∴∠AFO＝∠DFB， ∵∠OAF＝∠OFA， ∴∠DFB＝∠OAF， ∵GD平分∠ADF， ∴∠ADG＝∠FDG， ∵∠FGH＝∠OAF+∠ADG，∠FHG＝∠DFB+∠FDG， ∴∠FGH＝∠FHG＝45°， ∴sin∠FHG＝； （3）解：过点H作HM⊥DF于点M，HN⊥AD于点N． ∵HD平分∠ADF， ∴HM＝HN， ∵＝＝＝， ∵△FGH是等腰直角三角形，GH＝4， ∴FH＝FG＝4， ∴＝＝2， 设DB＝k，DF＝2k， ∵∠FDB＝∠ADF，∠DFB＝∠DAF， ∴△DFB∽△DAF， ∴DF2＝DB•DA， ∴AD＝4k， ∵GD平分∠ADF， ∴∠FDH＝∠ADG， ∴△FDH∽△ADG， ∴＝＝， ∴AG＝8， ∵∠AFB＝90°，AF＝12，FB＝6， ∴AB＝＝＝6， ∴⊙O的直径为6． 点评：本题属于圆的综合题，考查了切线的判定，相似三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题，属于中考压轴题。 圆的综合问题包含初中数学中《圆的基本性质》和《直线与圆的位置关系》两大部分，题目一般较为综合，常和三角形相似或三角函数结合考察。题型一般为解答题，考生在复习这块内容时，不仅需要熟悉圆的所以性质，更需要熟悉常与之结合的几何问题的方法技巧。 本考点是中考五星高频考点，难度较大，个别会以压轴题出现，在全国各地市的中考试卷中均有考查。 圆的综合问题常用的规律方法： 技法01：第一问常考考点——切线，对应规律 ①切线的判定：常用方法→ 有切点，连半径，证垂直！ 无切点，作垂直，证半径！ ☆特别地： 题目中所需证的垂直，一般是由已知垂直转化而来的，故有“想证⊥，先找⊥” ②切线的性质：常用方法→见切点，连半径，得垂直！ 因切线所得结论必为⊥，故常以直角三角形来展开后续问题 技法02：考题常见结合考点 ①知2得1： ②三角形相似： ③三角函数：相似三角形与三角函数不分家，所以应用方法类似； 特殊之处是：给三角函数，必“找”Rt△ ④特殊角及其转化： 技法03：常见辅助线 ①连半径——有关切线时，连接的是过切点的半径 ②作弦心距——构造Rt△，进而用知2得3 ——或做两条弦心距，构造矩形或正方形 ③连接弦——使直径所对的圆周角=90°，进而在Rt△中展开问题 【中考真题练】 1．（2022•杭州）如图是以点O为圆心，AB为直径的圆形纸片，点C在⊙O上，将该圆形纸片沿直线CO对折，点B落在⊙O上的点D处（不与点A重合），连接CB，CD，AD．设CD与直径AB交于点E．若AD＝ED，则∠B＝　36　度；的值等于 　　． 2．（2022•益阳）如图，C是圆O被直径AB分成的半圆上一点，过点C的圆O的切线交AB的延长线于点P，连接CA，CO，CB． （1）求证：∠ACO＝∠BCP； （2）若∠ABC＝2∠BCP，求∠P的度数； （3）在（2）的条件下，若AB＝4，求图中阴影部分的面积（结果保留π和根号）． 3．（2022•黄石）如图CD是⊙O直径，A是⊙O上异于C，D的一点，点B是DC延长线上一点，连AB、AC、AD，且∠BAC＝∠ADB． （1）求证：直线AB是⊙O的切线； （2）若BC＝2OC，求tan∠ADB的值； （3）在（2）的条件下，作∠CA