培优专题04 尺规作图在压轴题中的应用-【查漏补缺】2023年中考数学三轮冲刺过关

培优专题04 尺规作图在压轴题中的应用 本考点是中考五星高频考点，难度中等偏上，在全国很多地市的中考试卷中多有考查。 （2022年六盘水市中考试卷第25题）“水城河畔，樱花绽放，凉都宫中，书画成风”的风景，引来市民和游客争相“打卡”留念．已知水城河与南环路之间的某路段平行宽度为200米，为避免交通拥堵，请在水城河与南环路之间设计一条停车带，使得每个停车位到水城河与到凉都宫点F的距离相等． （1）利用尺规作出凉都宫到水城河的距离（保留作图痕迹，不写作法）； （2）在图中格点处标出三个符合条件的停车位P1，P2，P3； （3）建立平面直角坐标系，设M（0，2），N（2，0），停车位P（x，y），请写出y与x之间的关系式，在图中画出停车带，并判断点P（4，﹣4）是否在停车带上． 【分析】（1）利用过直线外一点作垂线的方法作图即可； （2）根据停车位到水城河与到凉都宫点F的距离相等，可得点P1，P2，P3； （3）根据停车位P（x，y）到点F（0，﹣1）和直线y＝1的距离相等，得1﹣y＝，从而解决问题． 【解答】解：（1）如图，线段FA的长即为所求； （2）如图，点P1，P2，P3即为所求； （3）∵停车位P（x，y）到点F（0，﹣1）和直线y＝1的距离相等， ∴1﹣y＝， 化简得y＝﹣， 当x＝4时，y＝﹣4， ∵停车带水城河与南环路之间， ∴点P（4，﹣4）不用在停车带上． 点评：本题主要考查了作图—应用设计图、尺规作图，坐标与图形的性质，函数关系式等知识，得出y与x的函数关系式是解题的关键 尺规作图是中考数学中的一个重要考点，近几年常见的考察方式是已知尺规作图的痕迹，判断是中垂线还是角平分线，然后再根据其对应的性质做题。但是个别题目则会把尺规作图结合其他几何图形出成综合题甚至压轴题，对考生的逻辑思维能力也更强。 本考点是中考五星高频考点，难度较大，个别还会以压轴题出现，在全国多地市的中考试卷中多有考查。 技法01：基本尺规作图 ①作一条线段等于已知线段，如图1； ②作一个角等于已知角，如图2 ③作已知角的平分线，如图3； ④作已知线段的垂直平分线，如图4 ； ⑤过一点作已知直线的垂线，如图5； 图1 图2 图3 图4 图5 技法02：利用尺规作图作三角形 ①已知三边作三角形，如图1 ②已知两边及其夹角作三角形，如图2； ③已知两角及其夹边作三角形，如图3， 图1 图2 图3 【中考真题练】 1．（2022•恩施州）如图，在矩形ABCD中，连接BD，分别以B、D为圆心，大于BD的长为半径画弧，两弧交于P、Q两点，作直线PQ，分别与AD、BC交于点M、N，连接BM、DN．若AD＝4，AB＝2．则四边形MBND的周长为（　　） A． B．5 C．10 D．20 2．（2022•天津）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，圆上的点A，B，C及∠DPF的一边上的点E，F均在格点上． （Ⅰ）线段EF的长等于 　　； （Ⅱ）若点M，N分别在射线PD，PF上，满足∠MBN＝90°且BM＝BN．请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出点M，N，并简要说明点M，N的位置是如何找到的（不要求证明） 　 　． 3．（2022•烟台）如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠ABC＝45°． （1）请用尺规作出⊙O的切线AD（保留作图痕迹，不写作法）； （2）在（1）的条件下，若AB与切线AD所夹的锐角为75°，⊙O的半径为2，求BC的长． 4．（2022•湖北）已知四边形ABCD为矩形，点E是边AD的中点，请仅用无刻度的直尺完成下列作图，不写作法，保留作图痕迹． （1）在图1中作出矩形ABCD的对称轴m，使m∥AB； （2）在图2中作出矩形ABCD的对称轴n，使n∥AD． 5．（2022•无锡）“黄金分割”给人以美感，它在建筑、艺术等领域有着广泛的应用．如图1，点B把线段AC分成两部分，如果，那么称线段AC被点B黄金分割，点B为线段AC的黄金分割点．AB与AC的比称为黄金比，它们的比值为．请在图2中完成相应的问题： 已知，∠MON＝60°，点A在OM边上，OA＝4． （1）请在ON边上用无刻度的直尺和圆规作出点B，使得OB与OA的比为黄金比；（不写作法，保留作图痕迹） （2）△AOB的面积＝　　． 6．（2022•长春）图①、图②、图③均是5×5的正方形网格，每个小