12.2 二次根式的乘除-2022-2023学年八年级数学下册同步重难点精讲精练培优讲义（苏科版）

2022-2023学年苏科版数学八年级下册同步重难点精讲精练培优讲义 12.2 二次根式的乘除 1.掌握二次根式的乘除法法则和化简二次根式的常用方法，熟练进行二次根式的乘除运算. 2.了解最简二次根式的概念，能运用二次根式的有关性质进行化简. 知识点01：二次根式的乘法及积的算术平方根 1.乘法法则：（≥0，≥0）,即两个二次根式相乘，根指数不变，只把被开方数相乘. 要点诠释： (1)在运用二次根式的乘法法则进行运算时，一定要注意：公式中a、b都必须是非负数；(在本章中， 如果没有特别说明，所有字母都表示非负数). (2)该法则可以推广到多个二次根式相乘的运算： ≥0，≥0，…..≥0）. (3)若二次根式相乘的结果能写成的形式，则应化简，如. 2.积的算术平方根: 　　（≥0，≥0）,即积的算术平方根等于积中各因式的算术平方根的积. 要点诠释： (1)在这个性质中，a、b可以是数，也可以是代数式，无论是数，还是代数式，都必须满足≥0，≥0,才能用此式进行计算或化简，如果不满足这个条件，等式右边就没有意义，等式也就不能成立了； (2)与都是的算术平方根； (3)二次根式的化简关键是将被开方数分解因数，把含有形式的a移到根号外面. 知识点02：二次根式的除法及商的算术平方根 1.除法法则：（≥0，>0）,即两个二次根式相除，根指数不变，把被开方数相除. 要点诠释： (1)在进行二次根式的除法运算时，对于公式中被开方数a、b的取值范围应特别注意，≥0，>0，因为b在分母上，故b不能为0； (2)运用二次根式的除法法则，可将分母中的根号去掉，二次根式的运算结果要尽量化简，最后结果中分母不能带根号. 2.商的算术平方根: 　　（≥0，>0），即商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根. 要点诠释：与都是的算术平方根. 知识点03：最简二次根式 （1）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式； （2）被开方数中不含有分母； （3）分母中不含有根号. 满足这三个条件的二次根式叫做最简二次根式. 要点诠释：二次根式化成最简二次根式主要有以下两种情况：（1) 被开方数是分数或分式； （2）含有能开方的因数或因式. 【典例分析01】（2022春•红花岗区校级期中）下列二次根式中，是最简二次根式的是（　　） A． B． C． D． 【思路引导】根据最简二次根式是的定义解答即可． 【规范解答】解：A、，故A不符合题意； B、，故B不符合题意； C、是最简二次根式，故C符合题意； D、，故D不符合题意． 故选：C． 【考点剖析】本题考查最简二次根式的定义．最简二次根式必须满足两个条件：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数不含能开得尽方的因数或因式．掌握最简二次根式的定义是解题的关键． 【变式训练01】（2021•迎泽区校级开学）将化成最简二次根式的结果为 　　． 【变式训练02】（2021秋•侯马市校级期末）若二次根式是最简二次根式，则最小的正整数a为　　． 【变式训练03】（2022春•灵宝市期中）把下列二次根式化成最简二次根式： （1）；（2）；（3）；（4）． 【典例分析01】（2021秋•祁阳县期末）计算•的结果是（　　） A．2a B．3a C． D．3 【思路引导】根据二次根式的乘法法则可进行计算，注意要化为最简二次根式． 【规范解答】解：＝， 故选：A． 【考点剖析】本题考查了二次根式的乘法，关键在于运用法则计算，注意要化简彻底． 【变式训练04】（2023•漳平市一模）计算：（）2＝　 ． 【变式训练05】（2022春•新兴县期末）计算：＝　　． 【变式训练06】（2022春•郏县期中）比较下面两列算式结果的大小，在横线上选填：（“＞”、“＜”“＝”“≥”，“≤”） 42+32　　2×4×3； （﹣2）2+12　　2×（﹣2）×1； +　　2××； 22+22　　2×2×2； 通过观察归纳，写出能反映这一规律的一般结论，并加以证明． 考点三：分母有理化 【典例分析03】（2023春•环翠区期中）观察下列等式： 第1个等式：a1＝＝﹣1， 第2个等式：a2＝＝， 第3个等式：a3＝＝2﹣， 第4个等式：a4＝＝﹣2， … 按上述规律，计算a1+a2+a3+…+an＝　﹣1　． 【思路引导】首先根据题意，可得：a1+a2+a3+…+an＝，然后根据分母有理数化的方法，求出算式的值是多少即可． 【规范解答】解：第1个等式：a1＝＝﹣1， 第2个等式：a2＝＝， 第3个等式：a3＝＝2﹣， 第4个等式：a4＝＝﹣2， … a1+a2+a3+…+an ＝﹣1+﹣+…+﹣ ＝﹣1 故答案为：﹣1． 【考点剖析】此题主要考查了分母有理化的方法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：