专题10 立体几何平行归类-【巅峰课堂】2022-2023学年高一数学热点题型归纳与分阶培优练（人教A版2019必修第二册）

专题10 立体几何平行归类 目录 【题型一】 线线平行：中位线法 2 【题型二】 线线平行：平行四边形法 3 【题型三】 “等分线法”证明线面平行 4 【题型四】 平行四边形法证线面平行 5 【题型五】 无交线证明平行 6 【题型六】 存在型：线面平行 7 【题型七】 存在型：面面平行 7 【题型八】 翻折中的平行 8 【题型九】 平行应用：异面直线所成的角 9 培优第一阶——基础过关练 10 培优第二阶——能力提升练 11 培优第三阶——培优拔尖练 12 结束 13 综述： 一、平行关系的判定及性质定理： (1)线∥面的判定定理和性质定理 文字语言 图形语言 符号语言 判定定理 平面外的一条直线与平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行． (简记为“线线平行⇒线面平行”) ∵l∥a，a⊂α，l⊄α ∴l∥α 性质定理 一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行． (简记为“线面平行⇒线线平行”) ∵l∥α，l⊂β，α∩β＝b ∴l∥b (2)面∥面的判定定理和性质定理 文字语言 图形语言 符号语言 判定定理 一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行． (简记为“线面平行⇒面面平行”) ∵a∥β，b∥β，a∩b＝P，a⊂α，b⊂α ∴α∥β 性质定理 两个平行平面同时和第三个平面相交，则它们的交线平行 (简记为“面面平行⇒线线平行”) ∵α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b ∴a∥b 注意：面面平行性质公理：两个平面平行，其中一个平面内的任意直线与另一个平面平行，(简记为“面面平行⇒线面平行”) 二、平行构造的常用方法： ①三角形中位线法； ②平行四边形线法； ③比例线段法. 注意：平行构造主要用于：①异面直线求夹角； ②平行关系的判定. 三、异面直线平行线法 求异面直线所成角的常用方法，其基本思路是通过平移直线，把异面直线的问题化归为共面直线问题来解决，具体步骤如下： （1）平移：平移异面直线中的一条或两条，作出异面直线所成的角； （2）认定：证明作出的角就是所求异面直线所成的角； （3）计算：求该角的值，常利用解三角形； （4）取舍：由异面直线所成的角的取值范围是，当所作的角为钝角时，应取它的补角作为两条异面直线所成的角． 【题型一】 线线平行：中位线法 【典例分析】 如图，空间四边形ABCD，E、H分别是AB、CD的中点，F、G分别是BC、CD上的点，且，求证：直线EH与直线FG平行． 【变式训练】 1.如图1所示，在梯形中，，，分别为，的中点，将平面沿翻折起来，使到达的位置（如图2），，分别为，的中点，求证:四边形为平行四边形. 图1                         图2 2.如图，P是△ABC所在平面外一点，D、E分别是△PAB和△PBC的重心．求证：DE//AC，. 【题型二】 线线平行：平行四边形法 【典例分析】 如图，在正方体中，，分别是棱和的中点． （1）求证：四边形为平行四边形； （2）求证：． 【变式训练】 1.如图，面ABEF⊥面ABCD，四边形ABEF与四边形ABCD都是直角梯形，∠BAD＝∠FAB＝90°，，，G、H分别是FA、FD的中点． （1）证明：四边形BCHG是平行四边形； （2）C、D、E、F四点是否共面？为什么？ 2.在如图所示的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F，E1，F1分别是棱AB，AD，B1C1，C1D1的中点， 求证：(1) ； (2)∠EA1F＝∠E1CF1. 【题型三】 “等分线法”证明线面平行 【典例分析】 如图，在直三棱柱中，，，，为的中点． (1)证明：平面 (2)过三点的一个平面，截三棱柱得到一个截面，画出截面图，说明理由并求截面面积． 【变式训练】 如图，四棱台的上底面和下底面分别是边长为2和4的正方形，侧棱上的一点E满足． (1)证明：平面； (2)若，且在平面ABCD的正投影落在线段CD上，求四棱台的体积． 【题型四】 平行四边形法证线面平行 【典例分析】 如图所示，三棱柱，底面是边长为2的正三角形，侧棱底面，点分别是棱上的点，点是线段上的动点，． (1)当点M在何位置时，平面? (2)若平面，求与所成的角的余弦值． 【变式训练】 1.如图所示，在四棱锥P﹣ABCD中，BC∥平面PAD，，E是PD的中点． (1)求证：BC∥AD； (2)求证：CE∥平面PAB． 2.如图，分别是圆台上、下底的圆心，为圆O的直径，以OB为直径在底面内作圆E，C为圆O的直径AB所对弧的中点，连接