2023年九年级中考数学二轮复习课件 “一线三等角”模型的探究与应用

“一线三等角”模型的探究与应用 九年级数学备课组 问 题 背景 如图，在△ACD中，∠ACD=90°，AC=DC，按如下步骤操作： （2）分别过点A、D作直线l的垂线段，垂足分别为点B、E； B E 从这个图形中你能得到什么结论？ 结论：△ABC≌△CED 如果将△ACD的形状作一下改变，这个结论还成立吗？ （1）任意作一条直线 经过点C(不与AC、DC重合)； “一线三直角”全等模型 探究1：若将等腰直角△ACD改为任意直角三角形，按上面的步骤(1)(2)作图； 从这个图形中你能得到什么结论？ 结论：△ABC∽△CED “一线三直角”基本图形 特征：∠ABC=∠ACD=∠CED=90°且顶点在同一直线上. 结论：△ABC∽△CED 探究2：如图，若将直角三角形ACD改成任意△ACD，已知∠B=∠ACD=∠E=a， △ABC与△CDE还相似吗？请说明理由. ∵∠B=∠ACD=a ∴∠BAC+∠ACB=∠ACB+∠DCE=180°-a ∴∠BAC=∠DCE 又∵∠B=∠E=a ∴△ABC∽△CED “一线三等角”基本图形 问 题 背景 问 题 探究 结论：△ABC∽△CED 特征：∠B=∠ACD=∠E=a且顶点在同一直线上 B E “一线三直角”相似模型 wsmon (w) - 模型提炼：“一线三等角”基本图形 问 题 背景 问 题 探究 一.三个等角可以是锐角、直角或钝角 二.点C还可以在线段BE或EB的延长线上 同侧型 异侧型 K型相似 1.如图四边形ABCD，EFGH ，NHMC都是正方形 ，A、B、N、E、F五点在同一直线上，若四边形ABCE,EFGH的边长分别为3，4，求四边形NHMC的边长。 火眼金睛找K形 4 5 2 如图，将矩形纸片ABCD的一个顶点D沿着 线段AE翻折后落于BC边上的点P，其中AB=6， AD=10. 1）求BP 2)求EC 6 10 10 8 2         火眼金睛找K形 6 3.如图，由8个大小相等的小正方形构成的图案，它的四个顶点E、F、G、H分别在矩形ABCD的边AB、BC、CD、DA上。 A B C D E G H F 若AB=4，BC=6，求DG的长． 4 6 x 2x 4-x 6-2x 6-2x=4-x X=2 火眼金睛找K形 7 问题一、 问 题 背景 问 题 探究 如图，在边长为9的正三角形ABC中，BD=3，∠ADE=60°，则AE的长为________. 思考1：由已知条件△ABC是等边三角形你能得到什么？ ∠ABD=∠DCE=60° 思考2：由∠ABD=∠DCE=60°，结合条件∠ADE=60°，你想到了什么？ “一线三等角”模型 ∵△ABC是等边三角形， ∴CD=BC-BD=9-3=6，∠BAD+∠ADB=120°. 又∵∠ADE=60°， ∴∠DAB=∠EDC， 则 ∴∠B=∠C=60°，AB=BC， 解得CE=2 ∴AE=AC-CE=9-2=7. ∴∠ADB+∠EDC=120°. ∴△ABD ∽ △DCE. 60° 三个等角：∠B=∠ADE=∠C=60° “一线三等角”模型 7 AE=7 BD 问题二、 如图，在平面直角坐标系xoy中，直线y=-x+m分别交x轴，y轴于A，B两点，已知点C(2,0)，点P为线段OB的中点，连接PA，PC，若∠CPA=∠ABO，则m的值为___________. 问 题 背景 问 题 探究 P 思考1：由直线y=-x+m你能得到什么？ OB=OA=m，∠OBA=∠OAB=45° 思考2：结合条件∠CPA=∠ABO=45°你想到了什么？ 存在“一线二等角” 找可能的另一“等角”构“一线三等角” 思考3：如将y轴看成“一线”，如何寻另一“等角”？ 解：在y轴半负轴上截OD，使OD=OC=2，则∠PDC=45°，CD= 由y=-x+m可得A（m，0），B（0，m）， y x O C A B D ∵∠CPA=∠ABO=45° 又∵∠ABP=∠PDC=45° ∴OA=OB=m，∠OBA=∠OAB=45°，AB= ∴∠BPA+∠OPC=∠BPA+∠BAP=135° ∴∠OPC=∠BAP . ∴△PCD∽△APB ∴ ∴ 解得：m=12 m=12 问题三、已知：如图，在四边形ABCD中，AB=10，BF=4，∠B=60°，设AE=x,AG=y，求y与x的函数关系式. 问 题 背景 问 题 探究 拓展生长 以不变应万变   y x 8-x 2 4 问 题 背景 问 题 探究 “一线三等角” 模型 找角：根据图形中存在的“一线二等角”，找可能的另一“等角” 定线：将相等角所在顶点的直线看成“一线”. 构相似：利用两个相等的角，再补一个相等的角，从而构造“一线三等角”相似模型 问 题 背景