7.2.1复数的加减法及几何意义

第七章 复数 7.2复数的四则运算 7.2.1　复数的加、减运算及其几何意义 Z=a+bi(a, b∈R) a为实部! b为虚部! 复习回顾： 复数的代数形式： 1．复数加法与减法的运算法则 (1)设z1＝a＋bi，z2＝c＋di是任意两个复数，则z1＋z2＝ ，z1－z2＝ . (2)对任意z1，z2，z3∈C，有z1＋z2＝ ，(z1＋z2)＋z3＝ (a＋c)＋(b＋d)i (a－c)＋(b－d)i z2＋z1 z1＋(z2＋z3) 2.复数的乘法法则 设z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,d∈R)是任意两个复数,则z1z2=(a+bi)·(c+di)= . 3.复数的乘法的运算律 对于任意z1,z2,z3∈C,有 交换律 z1z2= . 结合律 (z1z2)z3= . 乘法对加法的分配律 z1(z2+z3)= . (ac-bd)+(ad+bc)i z2z1 z1(z2z3) z1z2+z1z3 4.复数的除法法则 [例1] 计算: (1)(-3+2i)-(4-5i); (2)(5-6i)+(-2-2i)-(3+2i); (3)(a+bi)+(2a-3bi)+4i(a,b∈R). 解:(1)(-3+2i)-(4-5i)=(-3-4)+[2-(-5)]i=-7+7i. 解:(2)(5-6i)+(-2-2i)-(3+2i)=[5+(-2)-3]+[(-6)+(-2)-2]i=-10i. 解:(3)(a+bi)+(2a-3bi)+4i=(a+2a)+(b-3b+4)i=3a+(4-2b)i. [例2] 已知四边形ABCD是复平面上的平行四边形,顶点A,B,C分别对应复数-5-2i,-4+5i,2,求点D对应的复数及对角线AC,BD的长. [例3] 已知|z+1-i|=1,求|z-3+4i|的最大值和最小值. [例4] 计算: (1)(1+2i)(2+i); (2)(2+5i)(1-2i); (3)(2+i)(1+2i)(2-i). 解:(1)(1+2i)(2+i)=2+i+4i+2i2=5i. 解:(2)(2+5i)(1-2i)=2+5i-4i-10i2=12+i. 解:(3)(2+i)(1+2i)(2-i)=(2+i)(2-i)(1+2i) =(4-i2)(1+2i)=5(1+2i)=5+10i. [例6] (1)在复数范围内解下列方程. ①x2+5=0; ②x2+4x+6=0. 1.已知复数z1＝x1＋y1i，z2＝x2＋y2i及其对应的向量eq \o(OZ1,\s\up6(→))＝(x1，y1)，eq \o(OZ2,\s\up6(→))＝(x2，y2)．以eq \o(OZ1,\s\up6(→))和eq \o(OZ2,\s\up6(→))为邻边作平行四边形OZ1ZZ2，如图．对角线OZ所表示的向量eq \o(OZ,\s\up6(→))＝eq \o(OZ1,\s\up6(→))＋eq \o(OZ2,\s\up6(→))，而eq \o(OZ1,\s\up6(→))＋eq \o(OZ2,\s\up6(→))所对应的坐标是(x1＋x2，y1＋y2)，这正是两个复数之和z1＋z2所对应的有序实数对． 2．复数减法的几何意义 复数z2－z1是指连结向量eq \o(OZ1,\s\up6(→))，eq \o(OZ2,\s\up6(→))的终点，并指向被减数的向量eq \o(Z1Z2,\s\up6(→))所对应的复数． (2)当Δ<0时,x=. 注:z= =||2∈R. 设z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,d∈R,且c+di≠0), == . |z|2 +i 5.在复数范围内,实系数一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的求根公式 (1)当Δ≥0时,x=; 解:如图,因为AC与BD的交点M是各自的中点, 所以有zM==, 所以zD=zA+zC-zB=1-7i, 因为对应的复数为zC-zA=2-(-5-2i)=7+2i, 所以||=|7+2i|==, 因为对应的复数为zD-zB=(1-7i)-(-4+5i)=5-12i, 所以||=|5-12i|==13. 故点D对应的复数是1-7i,AC与BD的长分别是和13. 解:法一　设ω=z-3+4i, 所以z=ω+3-4i,所以z+1-i=ω+4-5i. 又|z+1-i|=1,所以|ω+4-5i|=1. 可知ω对应的点的轨迹是以(-4,5)为圆心,1为半径的圆,|ω|表示圆上的点与原点的距离, 如图(1)所示, 所以|ω|max=+1,|ω|min=-1. 法二　由条件知复数z对应的点的轨迹是以(-1,1)为圆心,1为半径的圆,