2023年中考数学高频考点突破——二次函数与一次函数

2023年中考数学高频考点突破——二次函数与一次函数 1．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线L：与x轴相交于A，B两点，与一次函数相交于点A和点C． (1)求点A、B、C三点的坐标； (2)点P是抛物线上的一动点且在直线AC的上方，过点P作x轴垂线交直线AC于点D，当点P运动到什么位置时，线段PD的长度最大？求出此时点P的坐标和线段PD的最大值； (3)将抛物线L：的图像向下平移得到新的抛物线，直线AC与抛物线交于M，N两点，满足，在抛物线上有且仅有三个点，，使得△，△，的面积均为定值S，求出定值S及，，的坐标． 2．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，二次函数的图象经过和点． (1)求二次函数的表达式： (2)如图1，平移线段，点的对应点落在二次函数在第一象限的图象上，点的对应点落在直线上，直接写出四边形的形状，并求出此时点的坐标； (3)如图2，在（2）的条件下，连接，交轴于点，点为直线下方抛物线上一个动点，过点作轴，交于点，连接，是否存在点，使得以点，，为顶点的三角形与相似？若存在，求出线段的长度；若不存在，请说明理由． 3．如图，一次函数的图象与x轴和y轴分别交于点B和点C，二次函数的图象经过B，C两点，并与x轴交于点A．点是线段OB上一个动点（不与点O、B重合），过点M作x轴的垂线，分别与二次函数图象和直线BC相交于点D和点E，连接CD． (1)求这个二次函数的解析式． (2)①求DE、CE的值（用含m的代数式表示）． ②当以C，D，E为顶点的三角形与△ABC相似时，求m的值． (3)点F是平面内一点，是否存在以C，D，E，F为顶点的四边形为菱形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 4．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点C为y轴正半轴上的一个动点，过点C的直线与二次函数y＝x2的图象交于A、B两点， (1)设A、B两点的横坐标分别为a、b ① 若a=-1，b=4，求直线AB所对应的一次函数关系式； ② 若b=2-a，求∠ACO的正切值； (2)若CB＝3AC，P为CB的中点，设点P的坐标为P（m，n）（m＞0），求的值； (3)若OA⊥OB，△AOB的面积为1，求点A的坐标． 5．我们约定：图象关于y轴对称的函数称为偶函数． （1）下列函数是偶函数的有　 　（填序号）； ①y＝x+1；②y＝﹣2020x2+5；③y＝||；④y＝2021x2﹣2020x+2018． （2）已知二次函数y＝（k+1）x2+（k2﹣1）x+1（k为常数）是偶函数，将此偶函数进行平移得到新的二次函数y＝ax2+bx+c，新函数的图象与x轴交于A，B两点（A在B的左侧），与y轴交于点C，若AB＝2，且以AB为直径的圆恰好经过点C，求平移后新函数的解析式； （3）如图，已知偶函数y＝ax2+bx+c（a≠0）经过（1，2），（2，5），过点E（0，2）的一次函数的图象与二次函数的图象交于A，B两点（A在B的左侧），过点AB分别作AC⊥x轴于点C，BD⊥x轴于点D，分别用S1，S2，S3表示△ACE，△ECD，△EDB的面积，问：是否存在实数m，使S22＝mS1S3都成立？若成立，求出m的值，若不存在，说明理由． 6．如图，二次函数y=-x2+2x+1的图像与一次函数y=-x+1的图像交于A、B两点，点C是二次函数图像的顶点，P是x轴下方线段AB上一点（与端点不重合），过点P分别作x轴的垂线和平行线，垂足为E，平行线交直线BC于点F． （1）若反比例函数 y=的图像正好过点 C，求k的值； （2）求当面积最大时，点 P的坐标； （3）如图2，将二次函数y=-x2+2x+1关于x轴对称得到新抛物线，的顶点为，再将沿直线 AB的方向平移得到新抛物线，的顶点为．在平移过程中，是否存在一个合适的位置，使得是一个直角三角形?若存在，请直接写出所有满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 7．我们知道，三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点，过三角形外心的一条直线与两边相交，两交点之间的线段把这个三角形分成两个图形，若其中有一个三角形与原三角形相似，则把这条线段叫做这个三角形的“外似线”． 【判断】 如图1，是的外接圆，过圆心O，分别交，于点M，N，且，则_____（填“是”或“不是”）的“外似线”； 【应用】 如图2，在中，，，，D为斜边的中点，求出所有“外似线”的长； 【证明】 如图3，已知二次函数图象与x轴交于A、B两点，点C是顶点，一次函数交y轴于点D，连接交x轴于点E，连结、，试证明是的“外似线”． 8．如图，一小球从斜坡点处抛出，球的抛出路线可以用二次函数的图象刻画，斜坡可以用一次函数的图象刻画． （1）小球的落点是，求二次函数图象的最高点的坐标和点的坐标； （2）连接抛物线的最高点