8.6.3.1平面与平面垂直的判定课件-2022-2023学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

1.两直线所成角： [ 0o, 90o ] 一.复习回顾： α a b a' b' O 经过空间中任一点O分别作直线a'//a，b'//b，我们把直线a'，b'所成的角叫做异面直线a、b所成的角（或夹角）． 2.直线与平面所成角： [ 0o, 90o ] 一.复习回顾： 平面的一条直线把平面分为两部分， 其中的每一部分都叫做一个半平面。 1.半平面： α l 二.讲授新知： 3 2.二面角： 从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，这条直线叫做二面角的棱，每个半平面叫做二面角的面． 棱 面 3 4 A B   二面角－AB－  l     l 二面角－ l－  二面角C－AB－ D A B C D 5 3.二面角的记法 思考: 把书打开，相邻两页书也构成二面角.       l α β O A B . 如何调整OA、OB的位置，使∠AOB被二面角α-l-β唯一确定？   l O O1 A B A1 B1 ∠A O B ∠A1O1B1 以二面角的棱上任一点为端点在两个面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角. 9 4.二面角的平面角 思考: 二面角的范围？ [ 0°, 180°] 平面角是直角的二面角叫做直二面角 6 　如图，四边形ABCD是正方形，PA⊥平面ABCD. 求二面角B-PA-C的大小． 【解】　 ∵ PA⊥平面ABCD， BA、CA⊂平面ABCD， ∴ BA⊥PA，CA⊥PA. ∴ ∠BAC为二面角B-PA-C的平面角． 又∵ 四边形ABCD为正方形， ∴ ∠BAC＝45°. 即二面角B-PA-C的大小为45°. 求二面角大小的步骤： （1）作——作棱的两条垂线 （2）找——出二面角的平面角； （3）证——线线垂直(垂直于棱)； （4）计算——在图形中利用边长计算. 返回导航 1．如图，在正方体ABCD-A′B′C′D′中，则二面角D′-AB-D的大小为____． 返回导航 2．如图，已知三棱锥A-BCD的各棱长均为2，求二面角A-CD-B的余弦值． 【解】　取CD的中点M，连接AM、BM. ∵ 三棱锥A-BCD的各棱长均相等， ∴ △ACD、△BCD为正三角形， 即 AM⊥CD，BM⊥CD. ∴ ∠AMB为二面角B-PA-C的平面角． 又易得 AB=2，AM=，BM= ∴ cos∠AMB＝. M 返回导航 证明平面与平面垂直 1．面面垂直的定义 定义 一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是__________，就说这两个平面互相垂直 直二面角 返回导航 又∵ AC=， 满足 ∴∠AMC=90°， ∴ M 【解】　取PD的中点M，连接AM、CM. ∵ AB=AD，CB=CD, ∴ △ABD、△BCD为等腰三角形， 即 AM⊥BD，CM⊥BD. ∴ ∠AMC为二面角A-BD-C的平面角． 在Rt△ADM中， AD=，MD=， ∴ AM= . 同理，在Rt△CDM中， CD=，MD=， ∴ CM= . 如何检测所砌的墙面和地面是否垂直？ 一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直. α β 简记：线面垂直，则面面垂直 面面垂直 线面垂直 线线垂直 符号: 平面与平面垂直的判定定理： 无数个 14 　(1)如图，在四棱锥P-ABCD中，若PA⊥平面ABCD且四边形 ABCD是菱形．求证：平面PAC⊥平面PBD. 【证明】∵ 四边形ABCD是菱形， ∴ BD⊥AC. ∵ PA⊥平面ABCD，且BD⊂平面ABCD， ∴ PA⊥BD. 又PA∩AC＝A，AC、PA⊂平面PAC， ∴ BD⊥平面PAC. 又∵ BD⊂平面PBD， ∴ 平面PAC⊥平面PBD. 2．如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，点D是棱BC的中点，且AB＝AC. 求证：平面AC1D⊥平面BCC1B1. 证明： ∵ D是BC的中点，且AB＝AC， ∴ AD⊥BC. ∵ 在直三棱柱中，BB1⊥平面ABC， 且AD⊂平面ABC， ∴ BB1⊥AD. 又BC∩BB1＝B，BC、BB1⊂平面BCC1B1， ∴ AD⊥平面BCC1B1. ∵ AD⊂平面AC1D， ∴ 平面AC1D⊥平面BCC1B1. 16 $