8.6.2.2直线与平面的夹角课件-2022-2023学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

复习回顾 一、直线与平面垂直 （一）定义 如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线l与平面α垂直， 记作 l⊥α.   l 平面的垂线 直线l的垂面 A 垂足 （二）画法 一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直,则该直线与此平面垂直. 线线垂直 　线面垂直 判定定理 定义 垂直 内 相交 二、直线和平面垂直的判定定理 练习：如图，四棱锥 的底面是正方形， 求证：　　 垂直 内 相交 练习：已知PA⊥矩形ABCD所在的平面，证明 ① PA⊥BD； ② PD⊥CD； ③ PB⊥BC. 证明：∵ AB为⊙O的直径， ∴ BM⊥AM. 又PA⊥平面ABM， ∴ PA⊥BM. 又∵ PA∩AM＝A，PA、AM⊂平面PAM， ∴ BM⊥平面PAM， ∴ BM⊥AN. 又AN⊥PM， 且BM∩PM＝M，BM、PM⊂平面PBM， ∴ AN⊥平面PBM. BM⊂平面ABM 且 AN⊂平面PAM， 6 当直线和平面相交时,如果直线和平面不垂直,此时如何刻画直线和平面的这种关系呢? 直线与平面所成的角 探究： P A 斜足 斜线 点的射影 A B 斜线 斜足 射影 垂足 垂线 如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中． (1)求A1B与平面AA1D1D所成的角； 【解】　 ∵ 在正方体中，BA⊥平面AA1D1D， ∴ ∠AA1B是A1B与平面AA1D1D所成的角， 在Rt△AA1B中，AB＝AA1， ∴ ∠AA1B＝45°， ∴ A1B与平面AA1D1D所成的角是45°. 求直线与平面所成角的步骤： ①作——过两点作面的垂线 ②找——找出斜线与射影所成的角 ③证——证线面垂直 ④求——角的正弦、余弦、正切 (2)求A1B与平面BB1D1D所成角的正弦值． 【解】连接A1C1交B1D1于点O，连接BO. ∵ 四边形A1B1C1D1是正方形， ∴ A1C1⊥B1D1， 又∵ BB1⊥平面A1B1C1D1， ∴ A1C1⊥BB1， 且 BB1∩B1D1＝B1， BB1、B1D1⊂平面BB1D1D， ∴ A1C1⊥平面BB1D1D， ∴ ∠A1BO就是A1B与平面BB1D1D所成的角． O A1C1⊂平面A1B1C1D1， 如图，在三棱柱ABC-A′B′C′中，底面ABC是正三角形，AA′⊥底面ABC，且AB＝1，AA′＝2，求直线BC′与平面ABB′A′所成角的正弦值． 解：取A′B′的中点D，连接C′D，BD. ∵ 底面△A′B′C′是正三角形， D 又∵ AA′⊥平面ABC，即AA′⊥平面A′B′C′， C′D⊂平面A′B′C′， ∴ C′D⊥AA′， 且 A′B′∩AA′＝A′， A′B′、AA′⊂平面ABB′A′， ∴ C′D⊥平面ABB′A′， ∴ ∠DBC′是 BC′与平面ABB′A′所成角． ∴ C′D⊥A′B′. 练习：已知PA⊥矩形ABCD所在的平面，证明 ① PA⊥BD； ② PD⊥CD； ③ PB⊥BC. 思考： 1.灯柱所在直线与地面是什么关系？ 2.灯柱所在的直线与直线间是什么关系？ 14 已知直线a，b和平面α，a⊥α，b⊥α， 证明：直线 a//b. 反证法 假设b与a不平行 则两直线 相交、异面 垂直于同一个平面的两条直线平行． 直线与平面垂直的性质定理： 符号语言： 1.判断下列命题的正误。 （1）平行于同一直线的两条直线互相平行 （2）垂直于同一直线的两条直线互相平行 （3）平行于同一平面的两条直线互相平行 （4）垂直于同一平面的两条直线互相平行 √ × √ × 如图所示，在正方体中，M是AB上一点，N是A1C的中点，MN⊥平面A1DC，求证：MN∥AD1. 证明：∵ 四边形ADD1A1为正方形， ∴ AD1⊥A1D. 又∵在正方体中， CD⊥平面ADD1A1， 且AD1⊂平面ADD1A1， ∴ CD⊥AD1. ∵ A1D∩CD＝D，A1D、CD⊂平面A1DC， ∴ AD1⊥平面A1DC. 又∵ MN⊥平面A1DC， ∴ MN∥AD1. 如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，且四边形 ABCD是矩形，AE⊥PD于点E，l⊥平面PCD.求证：l∥AE. 证明：∵ 四边形ABCD是矩形 ∴ CD⊥AD 又∵ PA⊥平面ABCD， ∴ PA⊥CD， 且 PA∩AD＝A，PA、AD⊂平面PAD， ∴ CD⊥平面PAD 且AE⊂平面PAD， ∴ CD⊥AE. 又∵ AE⊥