8.3 完全平方公式与平方差公式课件　　2022—2023学年沪科版数学七年级下册　

8.3 完全平方公式与平方差公式 第八章 整式乘法与因式分解 知识点 完全平方公式 1 1. 完全平方公式 两个数的和(或差)的平方，等于这两个数的平方和加(或减)这两个数乘积的2 倍. 即：用字母表示为(a+b)2=a2+2ab+b2，(a-b)2=a2-2ab+b2. 感悟新知 1. 弄清公式的特征： 公式的左边是一个二项式的完全平方， 公式的右边是一个三项式，包括左边二项式的各项的平方和， 另一项是这两项的乘积的2 倍. 2. 理解字母a、b 的意义：公式中的字母a、b 可以表示具体的数，也可以表示含字母的单项式或多项式. 3. 口诀记忆：头平方和尾平方，头（乘）尾两倍在中央，中间符号照原样 . 感悟新知 2. 完全平方公式的几种常见变形公式 (1)a2+b2=(a+b)2-2ab=(a-b)2+2ab； (2)(a+b)2=(a-b)2 +4ab； (3)(a-b) 2=(a+b)2-4ab； (4)(a+b)2+(a-b)2=2(a2+b2)； 感悟新知   感悟新知 例 1 计算： (1)(x+7y)2； 解：(x+7y)2 =x2+2·x·7y+(7y)2 =x2+14xy+49y2； 感悟新知 1. 利用完全平方公式进行整式运算的基本步骤： (1)确定公式中的a、b；(2)确定和差关系； (3)选择公式；(4)计算结果. 2. 两个易错点： (1)套用公式时千万不能漏掉“2ab”项； (2)两个平方项的底数要带上括号. 感悟新知 (2)(-4a+5b)2； 解：(-4a+5b)2 =(5b-4a)2 =(5b)2-2·5b·4a+(4a)2 =25b2-40ab+16a2； 感悟新知 (3)(-2m-n)2； 解：(-2m-n)2 =(2m+n)2 =(2m)2+2·2m·n+n2 =4m2+4mn+n2； 感悟新知 (4)(2x+3y)(-2x-3y). 解：(2x+3y)(-2x-3y) =-(2x+3y)2 =-［(2x)2+2·2x·3y+(3y)2］ =-(4x2+12xy+9y2) =-4x2-12xy-9y2. 解法提醒 两个二项式相乘，若两项都相同或都相反，则用完全平方公式计算. 感悟新知 例2 计算：(1)9992； 解：9992 =(1 000-1)2 =1 0002-2×1 000×1+12 =1 000 000-2 000+1 =998 001； 感悟新知     感悟新知 利用完全平方公式进行数值运算时，主要是将底数拆成两个数的和或差的形式，拆分时主要有两种情况： 一是接近整十、整百或整千的数. 将与整十、整百或整千接近的数拆分成整十、整百或整千的数与相差的数的和或差； 二是带分数. 将带分数拆分成整数部分与真分数的和或差. 感悟新知 知识点 平方差公式 2 1. 平方差公式 两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差. 即：用字母表示为(a+b)(a-b)=a2-b2. 感悟新知 公式的特征： 1. 等号左边是两个二项式相乘，这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数. 2. 等号右边是乘式中两项的平方差，即相同项的平方减去相反项的平方. 3. 理解字母a、b 的意义：平方差公式中的a、b既可代表一个单项式，也可代表一个多项式. 感悟新知 2. 平方差公式的几种常见变化及应用： 变化形式 应用举例 (1)位置变化 (b+a)(-b+a)=(a+b)(a-b)=a2 - b2 (2)符号变化 (-a-b)(a-b)=(-b-a)(-b+a)=(-b)2 -a2=b2-a2 (3)系数变化 (3a+2b)(3a -2b)=(3a)2-(2b)2 =9a2 -4b2 (4)指数变化 ( a3 +b2)(a3-b2)=( a3)2-(b2)2 =a6-b4 (5)增项变化 (a-b+c)(a-b-c)=(a-b)2-c2 (6)连用公式 (a+b)(a-b)(a2+b2)=(a2-b2)(a2+b2)=a4-b4 感悟新知 例 3 计算： (1)(5m-3n)(5m+3n)； 解：(5m-3n)(5m+3n)=(5m)2-(3n)2=25m2-9n2； (2)(-2a2+5b)(-2a2-5b)； (-2a2+5b)(-2a2-5b)=(-2a2)2-(5b)2=4a4-25b2； 感悟新知 运用平方差公式计算的3 个关键步骤： 第1步：利用加法的交换律调整两个二项式中项的位置，使之与公式左边相对应，已对应的就不需调整，如(1)(2)不需调整，(3)(4)就必须调整. 第2步：找准公式中的a、b 分别代表哪个单项式或多项式. 第3步：套用公式计算，注意将底数带上括号. 如(1)中(5m)2 不能写成5m2. 感悟新知     感悟新知 (