2024届高考一轮复习数学课件-两个计数原理

§10.1　两个计数原理 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布 两个计数原理 (1)分类加法计数原理：完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有m种不同的方法，在第2类方案中有n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝ 种不同的方法. (2)分步乘法计数原理：完成一件事需要两个步骤，做第1步有m种不同的方法，做第2步有n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝ 种不同的方法. m＋n m×n 2 1分类加法计数原理的推广：完成一件事有n类不同方案，在第1类方案中有m1种不同的方法，在第2类方案中有m2种不同的方法，……，在第n类方案中有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N＝ m1＋m2＋…＋mn种不同的方法. 2.分步乘法计数原理的推广：完成一件事需要n个步骤，做第1步有m1种不同的方法，做第2步有m2种不同的方法，……，做第n步有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m1×m2×…×mn种不同的方法. 3 1.已知某公园有4个门，从一个门进，另一个门出，则不同的走法的种数为 A.16 B.13 C.12 D.10 √ 将4个门编号为1,2,3,4，从1号门进入后，有3种出门的方式，共3种走法，从2,3,4号门进入，同样各有3种走法，不同走法共有4×3＝12(种). 2.有4位教师在同一年级的4个班中各教一个班的数学，在数学检测时要求每位教师不能在本班监考，则不同的监考方法有 A.8种 B.9种 C.10种 D.11种 √ 设四位监考教师分别为A，B，C，D，所教班级分别为a，b，c，d.假设A监考b，则余下三人监考剩下的三个班，共有3种不同方法，同理A监考c，d时，也分别有3种不同方法.由分类加法计数原理可知，共有3＋3＋3＝9(种)不同的监考方法. 5 3.由于用具简单、趣味性强，象棋成为流行极为广泛的棋艺活动.某棋局的一部分如图所示，若不考虑这部分以外棋子的影响，且“马”和“炮”不动，“兵”只能往前走或左右走，每次只能走一格，从“兵”吃掉“马”的最短路线中随机选择一条路线，其中也 能把“炮”吃掉的可能路线有 A.10条 B.8条 C.6条 D.4条 √ 6 由题意可知，“兵”吃掉“马”的最短路线需横走三步，竖走两步； 其中也能把“炮”吃掉的路线可分为两步：第一步，横走两步，竖走一步，有3种走法；第二步，横走一步，竖走一步，有2种走法. 所以所求路线共有3×2＝6(条). 7 核心题型 例1　(1)某同学有同样的画册2本，同样的集邮册3本，从中取出4本赠送给4位朋友，每位朋友一本，则不同的赠送方法共有 A.4种 B.10种 C.18种 D.20种 √ 题型一 分类加法计数原理 赠送1本画册，3本集邮册.需从4人中选取1人赠送画册，其余赠送集邮册，有4种方法.赠送2本画册，2本集邮册，只需从4人中选出2人赠送画册，其余2人赠送集邮册，有6种方法.由分类加法计数原理可知，不同的赠送方法共有4＋6＝10(种). (2)如果一个三位正整数如“a1a2a3”满足a1<a2，且a2>a3，则称这样的三位数为凸数(如120,343,275等)，那么所有凸数的个数为________. 240 若a2＝2，则百位数字只能选1，个位数字可选1或0，“凸数”为120与121，共2个.若a2＝3，则百位数字有两种选择，个位数字有三种选择，则“凸数”有2×3＝6(个).若a2＝4，满足条件的“凸数”有3×4＝12(个)，……，若a2＝9，满足条件的“凸数”有8×9＝72(个).所以所有凸数共有2＋6＋12＋20＋30＋42＋56＋72＝240(个). 使用分类加法计数原理的两个注意点 (1)根据问题的特点确定一个合适的分类标准，分类标准要统一，不能遗漏. (2)分类时，注意完成这件事的任何一种方法必须属于某一类，不能重复. 跟踪训练1　(1)(2023·太原模拟)现有拾圆、贰拾圆、伍拾圆的人民币各一张，一共可以组成的币值有 A.3种 B.6种 C.7种 D.8种 √ 由题意得， 三种币值取一张，共有3种取法，币值分别为拾圆、贰拾圆、伍拾圆； 三种币值取两张，共有3种取法，币值分别为叁拾圆、陆拾圆、柒拾圆； 三种币值全取，共有1种取法，币值为捌拾圆. 一共可以组成的币值有3＋3＋1＝7(种). (2)设I＝{1,2,3,4}，A与B是I的子集，若A∩B＝{1,2}，则称(A，B)为一个“理想配集”.若将(A，B)与(B，A)看成不同的“理想配集”，则符合此条件的“理想配集”有_____个. 9 例2　(1)数独是源自18世纪瑞士的一种数学游戏.如图是数独的一个简化版，由3行3列9个单元格构成.玩该游戏时，需 要将数字1,2,3(各3个)全部填入单