9.1.1 变量的相关性-【题型分类归纳】2022-2023学年高二数学同步讲与练(苏教版2019选择性必修第二册)

9.1.1 变量的相关性 一、变量的相关关系 1、相关关系：两个变量有关系，但又没有确切到可由其中的一个去精确地决定另一个的程度，这种关系称为相关关系； 2、散点图：将样本中n个数据点（）描在平面直角坐标系中得到的统计图叫做散点图，是描述成对数据之间关系的一种直观方法； 3、正相关与负相关：如果从整体上看，当一个变量的值增加时，另一个变量的相应值也呈现增加的趋势，我们就称这两个变量正相关；如果当一个变量的值增加时，另一个变量的相应值呈现减少的趋势，则称这两个变量负相关； 4、线性相关：一般地，如果两个变量的取值呈现正相关或负相关，而且散点落在一条直线附近，我们称这两个变量线性相关； 5、非线性相关与曲线相关：如果两个变量具有相关性，但不是线性相关，那么我们就称这两个变量非线性相关或曲线相关； 二、相关关系与函数关系的异同 1、相同点：两者均是指两个变量之间的关系； 2、不同点：（1）函数关系是一种确定的关系，如匀速直线运动中时间t与路程s的关系；相关关系是一种不确定的关系，如一块农田的水稻产量与施肥量之间的关系；事实上，函数是两个非随机变量的关系，而相关关系是非随机变量与随机变量的关系； （2）函数关系是一种因果关系，而相关关系不一定是因果关系，也可能是伴随关系。 三、样本相关系数 1、样本相关系数：设由变量x和y获得的两组数据分别为和（i=1，2，…，n），其对应关系如下表所示： 变量x … 变量y … 两组数据和的线性相关系数是度量两个变量x与y之间线性相关程度的统计量， 其计算公式为， 其中，，，它们分别是这两组数据的算术平均数． 2、相关系数r的性质 （1）； （2）时，与呈正相关关系； 时，与呈负相关关系 （3）越接近1，与的相关程度越强； 越接近0，与的相关程度越弱. 通常情况下，时，认为线性相关关系显著； 当时，认为几乎没有线性相关关系。 题型一 相关关系与函数关系 【例1】（2023·江苏·高二专题练习）对于给定的两个变量的统计数据，下列说法正确的是__________．（填序号） ①都可以分析出两个变量的关系； ②都可以用一条直线近似地表示两者的关系； ③都可以作出散点图； ④都可以用确定的表达式表示两者的关系． 【变式1-1】（2022春·甘肃兰州·高二统考期中）有下列关系： ①人的年龄与他（她）拥有的财富之间的关系； ②曲线上的点与该点的坐标之间的关系； ③苹果的产量与气候之间的关系； ④森林中的同一种树木，其横断面直径与高度之间的关系， 其中有相关关系的是（ ） A．①②③ B．①② C．②③ D．①③④ 【变式1-2】（2023·江苏·高二专题练习）下列两个量之间的关系是相关关系的是（ ） A．匀速直线运动中时间与位移的关系 B．学生的成绩和身高 C．儿童的年龄与体重 D．物体的体积和质量 【变式1-3】（2022·高二课时练习）下列语句表示的事件中的因素不具有相关关系的是（ ） A．瑞雪兆丰年 B．名师出高徒 C．不积跬步，无以至千里 D．喜鹊叫喜，乌鸦叫丧 题型二 由散点图判断相关关系 【例2】（2022·高二课时练习）有五组变量：①汽车的重量和汽车每消耗升汽油所行驶的平均路程；②平均日学习时间和平均学习成绩；③某人每日吸烟量和身体健康情况；④圆的半径与面积；⑤汽车的重量和每千米耗油量.其中两个变量成正相关的是（ ） A．①③ B．②④ C．②⑤ D．④⑤ 【变式2-1】（2022·高二课时练习）某商家今年上半年各月的人均销售额（单位：千元）与利润率统计表如下： 月份 人均销售额 利润率 根据表中数据，下列说法正确的是（ ） A．利润率与人均销售额成正相关关系 B．利润率与人均销售额成负相关关系 C．利润率与人均销售额成正出例函数关系 D．利润率与人均销售额成反比例函数关系 【变式2-2】（2023春·陕西咸阳·高二校考阶段练习）对变量、由观测数据得散点图，对变量、由观测数据得散点图.由这两个散点图可以判断（ ） A．变量与负相关，与正相关 B．变量与负相关，与负相关 C．变量与正相关，与正相关 D．变量与正相关，与负相关 【变式2-3】（2023·高二课时练习）如下四个散点图中，正相关的是（ ） A． B． C． D． 题型三 相关系数的理解与判断 【例3】（2023春·陕西咸阳·高二武功县普集高级中学校考阶